MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvlog2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvlog2 24299
Description: The derivative of the complex logarithm function on the open unit ball centered at 1, a sometimes easier region to work with than the ℂ ∖ (-∞, 0] of dvlog 24297. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dvlog2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
dvlog2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝑆

Proof of Theorem dvlog2
StepHypRef Expression
1 ssid 3603 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
2 logf1o 24215 . . . . . . 7 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
3 f1of 6094 . . . . . . 7 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
42, 3ax-mp 5 . . . . . 6 log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log
5 logrncn 24213 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ran log → 𝑥 ∈ ℂ)
65ssriv 3587 . . . . . 6 ran log ⊆ ℂ
7 fss 6013 . . . . . 6 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log ∧ ran log ⊆ ℂ) → log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
84, 6, 7mp2an 707 . . . . 5 log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
9 eqid 2621 . . . . . 6 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
109logdmss 24288 . . . . 5 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})
11 fssres 6027 . . . . 5 ((log:(ℂ ∖ {0})⟶ℂ ∧ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
128, 10, 11mp2an 707 . . . 4 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ
13 difss 3715 . . . 4 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
14 dvlog2.s . . . . 5 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
15 cnxmet 22486 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
16 ax-1cn 9938 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
17 1rp 11780 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ+
18 rpxr 11784 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 1 ∈ ℝ*
20 blssm 22133 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ)
2115, 16, 19, 20mp3an 1421 . . . . 5 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ⊆ ℂ
2214, 21eqsstri 3614 . . . 4 𝑆 ⊆ ℂ
23 eqid 2621 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423cnfldtop 22497 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2523cnfldtopon 22496 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
2625toponunii 20647 . . . . . . . 8 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
2726restid 16015 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
2824, 27ax-mp 5 . . . . . 6 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
2928eqcomi 2630 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
3023, 29dvres 23581 . . . 4 (((ℂ ⊆ ℂ ∧ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ) ∧ ((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℂ)) → (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)))
311, 12, 13, 22, 30mp4an 708 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆))
3214dvlog2lem 24298 . . . . 5 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
33 resabs1 5386 . . . . 5 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆))
3432, 33ax-mp 5 . . . 4 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆) = (log ↾ 𝑆)
3534oveq2i 6615 . . 3 (ℂ D ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↾ 𝑆)) = (ℂ D (log ↾ 𝑆))
369dvlog 24297 . . . 4 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥))
3723cnfldtopn 22495 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3837blopn 22215 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
3915, 16, 19, 38mp3an 1421 . . . . . 6 (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ∈ (TopOpen‘ℂfld)
4014, 39eqeltri 2694 . . . . 5 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)
41 isopn3i 20796 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (TopOpen‘ℂfld)) → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆)
4224, 40, 41mp2an 707 . . . 4 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆) = 𝑆
4336, 42reseq12i 5354 . . 3 ((ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) ↾ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
4431, 35, 433eqtr3i 2651 . 2 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆)
45 resmpt 5408 . . 3 (𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥)))
4632, 45ax-mp 5 . 2 ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑥)) ↾ 𝑆) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
4744, 46eqtri 2643 1 (ℂ D (log ↾ 𝑆)) = (𝑥𝑆 ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148  cmpt 4673  ran crn 5075  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881  -∞cmnf 10016  *cxr 10017  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  (,]cioc 12118  abscabs 13908  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  ∞Metcxmt 19650  ballcbl 19652  fldccnfld 19665  Topctop 20617  intcnt 20731   D cdv 23533  logclog 24205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-tan 14727  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  logtayl  24306  efrlim  24596
  Copyright terms: Public domain W3C validator