MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isppw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isppw 25060
Description: Two ways to say that 𝐴 is a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
isppw (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem isppw
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}
21vmaval 25059 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (Λ‘𝐴) = if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0))
32neeq1d 2991 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
4 reuen1 8192 . . 3 (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜)
5 hash1 13404 . . . . . . . . . 10 (♯‘1𝑜) = 1
65eqeq2i 2772 . . . . . . . . 9 ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1𝑜) ↔ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
7 prmdvdsfi 25053 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin)
8 1onn 7890 . . . . . . . . . . 11 1𝑜 ∈ ω
9 nnfi 8320 . . . . . . . . . . 11 (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ Fin
11 hashen 13349 . . . . . . . . . 10 (({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1𝑜) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜))
127, 10, 11sylancl 697 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = (♯‘1𝑜) ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜))
136, 12syl5bbr 274 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜))
1413biimpar 503 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
1514iftrued 4238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) = (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜)
17 en1b 8191 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}})
1816, 17sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} = { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}})
19 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . 12 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ⊆ ℙ
2018, 19syl6eqssr 3797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ)
21 uniexg 7121 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ Fin → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V)
227, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V)
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V)
24 snssg 4459 . . . . . . . . . . . 12 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ V → ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ ↔ { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ ↔ { {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}} ⊆ ℙ))
2620, 25mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ)
27 prmuz2 15630 . . . . . . . . . 10 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℙ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2))
29 eluzelre 11910 . . . . . . . . 9 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℝ)
31 eluz2b2 11974 . . . . . . . . . 10 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2) ↔ ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ ℕ ∧ 1 < {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}))
3231simprbi 483 . . . . . . . . 9 ( {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ∈ (ℤ‘2) → 1 < {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
3328, 32syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → 1 < {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴})
3430, 33rplogcld 24595 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ∈ ℝ+)
3534rpne0d 12090 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) ≠ 0)
3615, 35eqnetrd 2999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜) → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0)
3736ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
38 iffalse 4239 . . . . . 6 (¬ (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1 → if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) = 0)
3938necon1ai 2959 . . . . 5 (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0 → (♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1)
4039, 13syl5ib 234 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜))
4137, 40impbid 202 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴} ≈ 1𝑜 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
424, 41syl5bb 272 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴 ↔ if((♯‘{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}) = 1, (log‘ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐴}), 0) ≠ 0))
433, 42bitr4d 271 1 (𝐴 ∈ ℕ → ((Λ‘𝐴) ≠ 0 ↔ ∃!𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  ∃!wreu 3052  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321   cuni 4588   class class class wbr 4804  cfv 6049  ωcom 7231  1𝑜c1o 7723  cen 8120  Fincfn 8123  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   < clt 10286  cn 11232  2c2 11282  cuz 11899  chash 13331  cdvds 15202  cprime 15607  logclog 24521  Λcvma 25038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-dvds 15203  df-prm 15608  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-vma 25044
This theorem is referenced by:  isppw2  25061
  Copyright terms: Public domain W3C validator