MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rplogcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rplogcld 24092
Description: Closure of the logarithm function in the positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
relogefd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rplogcld.2 (𝜑 → 1 < 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rplogcld (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rplogcld
StepHypRef Expression
1 relogefd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 rplogcld.2 . 2 (𝜑 → 1 < 𝐴)
3 rplogcl 24067 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  cr 9787  1c1 9789   < clt 9926  +crp 11660  logclog 24018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350  df-log 24020
This theorem is referenced by:  divlogrlim  24094  logno1  24095  logbleb  24234  logblt  24235  cxploglim  24417  cxploglim2  24418  emcllem4  24438  emcllem6  24440  chtge0  24551  isppw  24553  chtwordi  24595  fsumvma2  24652  chpval2  24656  chpchtsum  24657  chpub  24658  bposlem1  24722  chebbnd1lem1  24871  chebbnd1lem3  24873  chebbnd1  24874  chtppilimlem1  24875  chtppilimlem2  24876  chtppilim  24877  chebbnd2  24879  chto1lb  24880  rplogsumlem2  24887  rpvmasumlem  24889  vmalogdivsum2  24940  vmalogdivsum  24941  2vmadivsumlem  24942  chpdifbndlem1  24955  selberg3lem1  24959  selberg3  24961  selberg4lem1  24962  selberg4  24963  selberg3r  24971  selberg4r  24972  selberg34r  24973  pntrlog2bndlem1  24979  pntrlog2bndlem2  24980  pntrlog2bndlem3  24981  pntrlog2bndlem4  24982  pntrlog2bndlem5  24983  pntrlog2bndlem6  24985  pntrlog2bnd  24986  pntibndlem2  24993  pntlemb  24999  pntlemg  25000  pntlemh  25001  pntlemr  25004  pntlemj  25005  pntlemf  25007  pntlemo  25009  pnt  25016  ostth2lem3  25037  ostth2lem4  25038  ostth2  25039  ostth3  25040
  Copyright terms: Public domain W3C validator