Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem1 32628
Description: Lemma for knoppndv 32650. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem1.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
knoppndvlem1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)

Proof of Theorem knoppndvlem1
StepHypRef Expression
1 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3 knoppndvlem1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 nnz 11437 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
65zred 11520 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
72, 6remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
82recnd 10106 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
96recnd 10106 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
10 2ne0 11151 . . . . . 6 2 ≠ 0
1110a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ≠ 0)
12 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
14 0lt1 10588 . . . . . . . . 9 0 < 1
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 1)
16 nnge1 11084 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
173, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
1812, 13, 6, 15, 17ltletrd 10235 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝑁)
1912, 18ltned 10211 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≠ 𝑁)
2019necomd 2878 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
218, 9, 11, 20mulne0d 10717 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≠ 0)
22 knoppndvlem1.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322znegcld 11522 . . . 4 (𝜑 → -𝐽 ∈ ℤ)
247, 21, 23reexpclzd 13074 . . 3 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑-𝐽) ∈ ℝ)
2524, 2, 11redivcld 10891 . 2 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) ∈ ℝ)
26 knoppndvlem1.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2726zred 11520 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2825, 27remulcld 10108 1 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32633  knoppndvlem7  32634  knoppndvlem10  32637  knoppndvlem14  32641  knoppndvlem15  32642  knoppndvlem17  32644
  Copyright terms: Public domain W3C validator