Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem10 32154
Description: Lemma for knoppndv 32167. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppndvlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppndvlem10.a 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
knoppndvlem10.b 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
knoppndvlem10.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem10.j (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
knoppndvlem10.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
knoppndvlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem10 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐵,𝑛,𝑦   𝑥,𝐵   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝐽   𝑥,𝐽   𝑛,𝑀,𝑦   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑛)   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem knoppndvlem10
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem10.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
2 knoppndvlem10.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
3 knoppndvlem10.b . . . . . . 7 𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1))
4 knoppndvlem10.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
6 knoppndvlem10.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
8 knoppndvlem10.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
98peano2zd 11429 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
109adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
11 knoppndvlem10.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 notnot 136 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 𝑀 → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
1413adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ ¬ 2 ∥ 𝑀)
158adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 oddp1even 14992 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
1814, 17mtbid 314 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ (𝑀 + 1))
191, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 18knoppndvlem9 32153 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
20 knoppndvlem10.a . . . . . . 7 𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀)
2114notnotrd 128 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ 𝑀)
221, 2, 20, 5, 7, 15, 12, 21knoppndvlem8 32152 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = 0)
2319, 22oveq12d 6622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
244knoppndvlem3 32147 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐶) < 1))
2524simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2625recnd 10012 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2726, 6expcld 12948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶𝐽) ∈ ℂ)
28 2cnd 11037 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
29 2ne0 11057 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ≠ 0)
3127, 28, 30divcld 10745 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶𝐽) / 2) ∈ ℂ)
3231subid1d 10325 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3332adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
3423, 33eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
3534fveq2d 6152 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
363a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)))
376nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
3811, 37, 9knoppndvlem1 32145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
3936, 38eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
401, 2, 11, 25, 39, 6knoppcnlem3 32127 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℝ)
4140recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐵)‘𝐽) ∈ ℂ)
4220a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 = ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀))
4311, 37, 8knoppndvlem1 32145 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑-𝐽) / 2) · 𝑀) ∈ ℝ)
4442, 43eqeltrd 2698 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
451, 2, 11, 25, 44, 6knoppcnlem3 32127 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℝ)
4645recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝐽) ∈ ℂ)
4741, 46abssubd 14126 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
4847adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))))
494adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐶 ∈ (-1(,)1))
506adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝐽 ∈ ℕ0)
518adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
53 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
541, 2, 20, 49, 50, 51, 52, 53knoppndvlem9 32153 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐴)‘𝐽) = ((𝐶𝐽) / 2))
559adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
5651, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ 2 ∥ (𝑀 + 1)))
5753, 56mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → 2 ∥ (𝑀 + 1))
581, 2, 3, 49, 50, 55, 52, 57knoppndvlem8 32152 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → ((𝐹𝐵)‘𝐽) = 0)
5954, 58oveq12d 6622 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = (((𝐶𝐽) / 2) − 0))
6032adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐶𝐽) / 2) − 0) = ((𝐶𝐽) / 2))
6159, 60eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽)) = ((𝐶𝐽) / 2))
6261fveq2d 6152 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐴)‘𝐽) − ((𝐹𝐵)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6348, 62eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑀) → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6435, 63pm2.61dan 831 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (abs‘((𝐶𝐽) / 2)))
6527, 28, 30absdivd 14128 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)))
6626, 6absexpd 14125 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐽)) = ((abs‘𝐶)↑𝐽))
67 0le2 11055 . . . . . 6 0 ≤ 2
68 2re 11034 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6968absidi 14051 . . . . . 6 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
7067, 69ax-mp 5 . . . . 5 (abs‘2) = 2
7170a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs‘2) = 2)
7266, 71oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝐽)) / (abs‘2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7365, 72eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝐽) / 2)) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
7464, 73eqtrd 2655 1 (𝜑 → (abs‘(((𝐹𝐵)‘𝐽) − ((𝐹𝐴)‘𝐽))) = (((abs‘𝐶)↑𝐽) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  0cn0 11236  cz 11321  (,)cioo 12117  cfl 12531  cexp 12800  abscabs 13908  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  knoppndvlem15  32159
  Copyright terms: Public domain W3C validator