MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem min2 11856
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the second. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem min2
StepHypRef Expression
1 rexr 9941 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 9941 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmin2 11844 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
41, 2, 3syl2an 492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cr 9791  *cxr 9929  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  reccn2  14123  ssblex  21990  nlmvscnlem1  22247  nrginvrcnlem  22252  icccmplem2  22381  xlebnum  22519  ipcnlem1  22796  ivthlem2  22972  ovolicc2lem5  23040  ioombl1lem1  23077  mbfi1fseqlem4  23235  mbfi1fseqlem5  23236  aalioulem5  23839  aalioulem6  23840  cxpcn3lem  24232  ftalem5  24547  chtdif  24628  ppidif  24633  chebbnd1lem1  24902  itg2addnc  32417  mullimc  38466  mullimcf  38473  limcleqr  38494  addlimc  38498  0ellimcdiv  38499  limclner  38501  stoweidlem5  38681  fourierdlem104  38886  ioorrnopnlem  38983  hoidmv1lelem2  39265  smfmullem1  39459
  Copyright terms: Public domain W3C validator