MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  min1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem min1 11853
Description: The minimum of two numbers is less than or equal to the first. (Contributed by NM, 3-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
min1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)

Proof of Theorem min1
StepHypRef Expression
1 rexr 9941 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 9941 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmin1 11841 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
41, 2, 3syl2an 492 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if(𝐴𝐵, 𝐴, 𝐵) ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cr 9791  *cxr 9929  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  reccn2  14121  ssblex  21984  nlmvscnlem1  22233  nrginvrcnlem  22238  icccmplem2  22366  xlebnum  22503  ipcnlem1  22770  ivthlem2  22945  ioombl1lem4  23053  mbfi1fseqlem5  23209  aalioulem5  23812  aalioulem6  23813  logcnlem3  24107  cxpcn3lem  24205  ftalem5  24520  chtdif  24601  ppidif  24606  chebbnd1lem1  24875  itg2addnc  32430  mullimc  38480  mullimcf  38487  limcleqr  38508  addlimc  38512  0ellimcdiv  38513  limclner  38515  stoweidlem5  38695  fourierdlem103  38899  fourierdlem104  38900  ioorrnopnlem  38997  hsphoidmvle  39273  hoidmv1lelem1  39278  hoidmv1lelem2  39279  hoidmv1lelem3  39280  smfmullem1  39473
  Copyright terms: Public domain W3C validator