MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcnlem 22542
Description: Lemma for nrginvrcn 22543. Compare this proof with reccn2 14371, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (𝜑𝐴𝑈)
nrginvrcn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
2 1rp 11874 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 22513 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
86, 7unitss 18706 . . . . . . . 8 𝑈𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3634 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
137, 12nzrunit 19315 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
1411, 9, 13syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑅)
166, 15, 12nmrpcl 22471 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 11926 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4163 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 11922 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 11926 . . 3 (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑈)
276, 7unitcl 18705 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈𝐴𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑋)
296, 15nmcl 22467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3130recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
32 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑈)
338, 32sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑋)
346, 15nmcl 22467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3635recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
37 ngpgrp 22450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 22514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
437, 42, 6ringinvcl 18722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 18722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝑅) = (-g𝑅)
486, 47grpsubcl 17542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 22467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5251recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℂ)
5331, 36, 52mul32d 10284 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
543adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
566, 15, 55nmmul 22515 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 18645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
59 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
607, 42, 55, 59unitrinv 18724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6141, 26, 60syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6261oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6358, 62eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6463fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6557, 64eqtr3d 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6665oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
676, 59ringidcl 18614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 18607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 17542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 22515 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 18646 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 18617 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 18610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 18723 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8141, 32, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8281oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)))
836, 55, 59ringridm 18618 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8775, 86eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8887fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2687 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2689 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
916, 47grpsubcl 17542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐴𝑋) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 22467 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
9617adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
9711adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 19315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
9997, 32, 98syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
1006, 15, 12nmrpcl 22471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 11926 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 11910 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
104103recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℂ)
105102rpne0d 11915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ≠ 0)
10695, 104, 52, 105divmuld 10861 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ↔ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴))))
10790, 106mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑅)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 22456 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
111110oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 22455 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2696 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
115110, 94eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 11910 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119118rpred 11910 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 10108 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121 simprr 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 11922 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 11926 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 11910 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128 min2 12059 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
129126, 127, 128sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
13021adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131130rpred 11910 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 11953 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2))))
133129, 132mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
1341, 133syl5eqbr 4720 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
135123rpred 11910 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 11316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) = (𝑁𝐴))
13730, 35resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 22476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 22455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144126, 127, 143sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2))))
147144, 146mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
1481, 147syl5eqbr 4720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
149135recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150149mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁𝐴) / 2)) = ((𝑁𝐴) / 2))
151148, 150breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁𝐴) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁𝐴) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 10663 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2) ↔ (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
155153, 154mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦) ↔ (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
158156, 157mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 11966 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
160119recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16131, 36, 160mul32d 10284 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
162159, 161breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 10233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 10236 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
165115, 119, 102ltdivmuld 11961 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵)))
166164, 165mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵)
167114, 166eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)
168167expr 642 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
169168ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
170 breq2 4689 . . . . 5 (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170imbi1d 330 . . . 4 (𝑥 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵) ↔ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)))
172171ralbidv 3015 . . 3 (𝑥 = 𝑇 → (∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵) ↔ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)))
173172rspcev 3340 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
17424, 169, 173syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  2c2 11108  +crp 11870  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  distcds 15997  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  1rcur 18547  Ringcrg 18593  Unitcui 18685  invrcinvr 18717  NzRingcnzr 19305  normcnm 22428  NrmGrpcngp 22429  NrmRingcnrg 22431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-0g 16149  df-topgen 16151  df-xrs 16209  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-abv 18865  df-nzr 19306  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22543
  Copyright terms: Public domain W3C validator