MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrginvrcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrginvrcnlem 22238
Description: Lemma for nrginvrcn 22239. Compare this proof with reccn2 14121, the elementary proof of continuity of division. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nrginvrcn.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nrginvrcn.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
nrginvrcn.i 𝐼 = (invr𝑅)
nrginvrcn.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nrginvrcn.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
nrginvrcn.r (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
nrginvrcn.z (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
nrginvrcn.a (𝜑𝐴𝑈)
nrginvrcn.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
nrginvrcn.t 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
Assertion
Ref Expression
nrginvrcnlem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nrginvrcnlem
StepHypRef Expression
1 nrginvrcn.t . . 3 𝑇 = (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2))
2 1rp 11668 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
3 nrginvrcn.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
4 nrgngp 22209 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ NrmGrp)
6 nrginvrcn.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝑅)
7 nrginvrcn.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑅)
86, 7unitss 18429 . . . . . . . 8 𝑈𝑋
9 nrginvrcn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑈)
108, 9sseldi 3565 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
11 nrginvrcn.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
12 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) = (0g𝑅)
137, 12nzrunit 19034 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐴𝑈) → 𝐴 ≠ (0g𝑅))
1411, 9, 13syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ (0g𝑅))
15 nrginvrcn.n . . . . . . . 8 𝑁 = (norm‘𝑅)
166, 15, 12nmrpcl 22174 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝐴 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
175, 10, 14, 16syl3anc 1317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
18 nrginvrcn.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
1917, 18rpmulcld 11720 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
20 ifcl 4079 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
212, 19, 20sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
2217rphalfcld 11716 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
2321, 22rpmulcld 11720 . . 3 (𝜑 → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
241, 23syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
255adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
269adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑈)
276, 7unitcl 18428 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑈𝐴𝑋)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐴𝑋)
296, 15nmcl 22170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3025, 28, 29syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
3130recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
32 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑈)
338, 32sseldi 3565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦𝑋)
346, 15nmcl 22170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3525, 33, 34syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ)
3635recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℂ)
37 ngpgrp 22154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Grp)
39 nrgring 22210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
403, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ Ring)
42 nrginvrcn.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = (invr𝑅)
437, 42, 6ringinvcl 18445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
4441, 26, 43syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
457, 42, 6ringinvcl 18445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
4641, 32, 45syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐼𝑦) ∈ 𝑋)
47 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (-g𝑅) = (-g𝑅)
486, 47grpsubcl 17264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
4938, 44, 46, 48syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
506, 15nmcl 22170 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℝ)
5251recnd 9924 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ ℂ)
5331, 36, 52mul32d 10097 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
543adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
55 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
566, 15, 55nmmul 22211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ ((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
5754, 28, 49, 56syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))))
586, 55, 47, 41, 28, 44, 46ringsubdi 18368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
59 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1r𝑅) = (1r𝑅)
607, 42, 55, 59unitrinv 18447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6141, 26, 60syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴)) = (1r𝑅))
6261oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝐴))(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6358, 62eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) = ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))))
6463fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝐴(.r𝑅)((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6557, 64eqtr3d 2645 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))))
6665oveq1d 6542 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
676, 59ringidcl 18337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
6841, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1r𝑅) ∈ 𝑋)
696, 55ringcl 18330 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
7041, 28, 46, 69syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋)
716, 47grpsubcl 17264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)) ∈ 𝑋) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
7238, 68, 70, 71syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋)
736, 15, 55nmmul 22211 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ ((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))) ∈ 𝑋𝑦𝑋) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
7454, 72, 33, 73syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)))
756, 55, 47, 41, 68, 70, 33rngsubdir 18369 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)))
766, 55, 59ringlidm 18340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑋) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
7741, 33, 76syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
786, 55ringass 18333 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋𝑦𝑋)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
7941, 28, 46, 33, 78syl13anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)))
807, 42, 55, 59unitlinv 18446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝑈) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8141, 32, 80syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦) = (1r𝑅))
8281oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)((𝐼𝑦)(.r𝑅)𝑦)) = (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)))
836, 55, 59ringridm 18341 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8441, 28, 83syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝐴)
8579, 82, 843eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦) = 𝐴)
8677, 85oveq12d 6545 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(.r𝑅)𝑦)(-g𝑅)((𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8775, 86eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦) = (𝑦(-g𝑅)𝐴))
8887fveq2d 6092 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))(.r𝑅)𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
8974, 88eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘((1r𝑅)(-g𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝐼𝑦)))) · (𝑁𝑦)) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
9053, 66, 893eqtrd 2647 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
916, 47grpsubcl 17264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑦𝑋𝐴𝑋) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
9238, 33, 28, 91syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋)
936, 15nmcl 22170 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝑦(-g𝑅)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9425, 92, 93syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℝ)
9594recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) ∈ ℂ)
9617adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ+)
9711adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑅 ∈ NzRing)
987, 12nzrunit 19034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
9997, 32, 98syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑦 ≠ (0g𝑅))
1006, 15, 12nmrpcl 22174 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝑦𝑋𝑦 ≠ (0g𝑅)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10125, 33, 99, 100syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝑦) ∈ ℝ+)
10296, 101rpmulcld 11720 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ+)
103102rpred 11704 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
104103recnd 9924 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ∈ ℂ)
105102rpne0d 11709 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) ≠ 0)
10695, 104, 52, 105divmuld 10672 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))) ↔ (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦)))) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴))))
10790, 106mpbird 245 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
108 nrginvrcn.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (dist‘𝑅)
10915, 6, 47, 108ngpdsr 22159 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
11025, 28, 33, 109syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)))
111110oveq1d 6542 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) = ((𝑁‘(𝑦(-g𝑅)𝐴)) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
11215, 6, 47, 108ngpds 22158 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐼𝐴) ∈ 𝑋 ∧ (𝐼𝑦) ∈ 𝑋) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
11325, 44, 46, 112syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = (𝑁‘((𝐼𝐴)(-g𝑅)(𝐼𝑦))))
114107, 111, 1133eqtr4rd 2654 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) = ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))))
115110, 94eqeltrd 2687 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) ∈ ℝ)
11624adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
117116rpred 11704 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ)
11818adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
119118rpred 11704 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℝ)
120103, 119remulcld 9926 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) ∈ ℝ)
121 simprr 791 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)
12219adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ+)
12396rphalfcld 11716 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ+)
124122, 123rpmulcld 11720 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
125124rpred 11704 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
126 1re 9895 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
127122rpred 11704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ)
128 min2 11854 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
129126, 127, 128sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵))
13021adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ+)
131130rpred 11704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ∈ ℝ)
132131, 127, 123lemul1d 11747 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2))))
133129, 132mpbid 220 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
1341, 133syl5eqbr 4612 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)))
135123rpred 11704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℝ)
136312halvesd 11125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) = (𝑁𝐴))
13730, 35resubcld 10309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ∈ ℝ)
1386, 15, 47nm2dif 22179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
13925, 28, 33, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14015, 6, 47, 108ngpds 22158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
14125, 28, 33, 140syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) = (𝑁‘(𝐴(-g𝑅)𝑦)))
142139, 141breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) ≤ (𝐴𝐷𝑦))
143 min1 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℝ ∧ ((𝑁𝐴) · 𝐵) ∈ ℝ) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
144126, 127, 143sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1)
145 1red 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 1 ∈ ℝ)
146131, 145, 123lemul1d 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) ≤ 1 ↔ (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2))))
147144, 146mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (if(1 ≤ ((𝑁𝐴) · 𝐵), 1, ((𝑁𝐴) · 𝐵)) · ((𝑁𝐴) / 2)) ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
1481, 147syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ (1 · ((𝑁𝐴) / 2)))
149135recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) ∈ ℂ)
150149mulid2d 9914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (1 · ((𝑁𝐴) / 2)) = ((𝑁𝐴) / 2))
151148, 150breqtrd 4603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 ≤ ((𝑁𝐴) / 2))
152115, 117, 135, 121, 151ltletrd 10048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < ((𝑁𝐴) / 2))
153137, 115, 135, 142, 152lelttrd 10046 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2))
15430, 35, 135ltsubadd2d 10474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) − (𝑁𝑦)) < ((𝑁𝐴) / 2) ↔ (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
155153, 154mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝑁𝐴) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
156136, 155eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2)))
157135, 35, 135ltadd1d 10469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦) ↔ (((𝑁𝐴) / 2) + ((𝑁𝐴) / 2)) < ((𝑁𝑦) + ((𝑁𝐴) / 2))))
158156, 157mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝑁𝐴) / 2) < (𝑁𝑦))
159135, 35, 122, 158ltmul2dd 11760 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
160119recnd 9924 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝐵 ∈ ℂ)
16131, 36, 160mul32d 10097 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵) = (((𝑁𝐴) · 𝐵) · (𝑁𝑦)))
162159, 161breqtrrd 4605 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝑁𝐴) · 𝐵) · ((𝑁𝐴) / 2)) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
163117, 125, 120, 134, 162lelttrd 10046 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → 𝑇 < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
164115, 117, 120, 121, 163lttrd 10049 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵))
165115, 119, 102ltdivmuld 11755 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → (((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < (((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦)) · 𝐵)))
166164, 165mpbird 245 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐴𝐷𝑦) / ((𝑁𝐴) · (𝑁𝑦))) < 𝐵)
167114, 166eqbrtrd 4599 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑈 ∧ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇)) → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)
168167expr 640 . . 3 ((𝜑𝑦𝑈) → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
169168ralrimiva 2948 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
170 breq2 4581 . . . . 5 (𝑥 = 𝑇 → ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 ↔ (𝐴𝐷𝑦) < 𝑇))
171170imbi1d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑇 → (((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵) ↔ ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)))
172171ralbidv 2968 . . 3 (𝑥 = 𝑇 → (∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵) ↔ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)))
173172rspcev 3281 . 2 ((𝑇 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑇 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
17424, 169, 173syl2anc 690 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝑈 ((𝐴𝐷𝑦) < 𝑥 → ((𝐼𝐴)𝐷(𝐼𝑦)) < 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  +crp 11664  Basecbs 15641  .rcmulr 15715  distcds 15723  0gc0g 15869  Grpcgrp 17191  -gcsg 17193  1rcur 18270  Ringcrg 18316  Unitcui 18408  invrcinvr 18440  NzRingcnzr 19024  normcnm 22132  NrmGrpcngp 22133  NrmRingcnrg 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-0g 15871  df-topgen 15873  df-xrs 15931  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-abv 18586  df-nzr 19025  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-xms 21876  df-ms 21877  df-nm 22138  df-ngp 22139  df-nrg 22141
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  22239
  Copyright terms: Public domain W3C validator