Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nonbooli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nonbooli 27676
 Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ((𝐻 ∩ 𝐹) ∨ℋ (𝐻 ∩ 𝐺)) = 0ℋ but (𝐻 ∩ (𝐹 ∨ℋ 𝐺)) ≠ 0ℋ. The antecedent specifies that the vectors 𝐴 and 𝐵 are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to 𝐹, 𝐺, and 𝐻. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nonbool.1 𝐴 ∈ ℋ
nonbool.2 𝐵 ∈ ℋ
nonbool.3 𝐹 = (span‘{𝐴})
nonbool.4 𝐺 = (span‘{𝐵})
nonbool.5 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
Assertion
Ref Expression
nonbooli (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))

Proof of Theorem nonbooli
StepHypRef Expression
1 nonbool.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ ℋ
2 nonbool.2 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 27041 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 spansnid 27588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)}))
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
6 nonbool.5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (span‘{(𝐴 + 𝐵)})
75, 6eleqtrri 2591 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻
8 nonbool.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (span‘{𝐴})
91spansnchi 27587 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐴}) ∈ C
109chshii 27250 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐴}) ∈ S
118, 10eqeltri 2588 . . . . . . . . . . . 12 𝐹S
12 nonbool.4 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (span‘{𝐵})
132spansnchi 27587 . . . . . . . . . . . . . 14 (span‘{𝐵}) ∈ C
1413chshii 27250 . . . . . . . . . . . . 13 (span‘{𝐵}) ∈ S
1512, 14eqeltri 2588 . . . . . . . . . . . 12 𝐺S
1611, 15shsleji 27395 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 + 𝐺) ⊆ (𝐹 𝐺)
17 spansnid 27588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ (span‘{𝐴})
1918, 8eleqtrri 2591 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝐹
20 spansnid 27588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})
2221, 12eleqtrri 2591 . . . . . . . . . . . 12 𝐵𝐺
2311, 15shsvai 27389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐹𝐵𝐺) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺))
2419, 22, 23mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 + 𝐺)
2516, 24sselii 3469 . . . . . . . . . 10 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)
26 elin 3662 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝐻 ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐹 𝐺)))
277, 25, 26mpbir2an 956 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺))
28 eleq2 2581 . . . . . . . . 9 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ 0))
2927, 28mpbii 221 . . . . . . . 8 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ 0)
30 elch0 27277 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) = 0)
3129, 30sylib 206 . . . . . . 7 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) = 0)
32 ch0 27251 . . . . . . . 8 ((span‘{𝐴}) ∈ C → 0 ∈ (span‘{𝐴}))
339, 32ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ∈ (span‘{𝐴})
3431, 33syl6eqel 2600 . . . . . 6 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 → (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
358eleq2i 2584 . . . . . . 7 (𝐵𝐹𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
36 sumspansn 27674 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴})))
371, 2, 36mp2an 703 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ (span‘{𝐴}))
3835, 37bitr4i 265 . . . . . 6 (𝐵𝐹 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}))
3934, 38sylibr 222 . . . . 5 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0𝐵𝐹)
4039con3i 148 . . . 4 𝐵𝐹 → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
4140adantl 480 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0)
426, 8ineq12i 3677 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴}))
433, 1spansnm0i 27675 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐴}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4438, 43sylnbi 318 . . . . . 6 𝐵𝐹 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐴})) = 0)
4542, 44syl5eq 2560 . . . . 5 𝐵𝐹 → (𝐻𝐹) = 0)
466, 12ineq12i 3677 . . . . . 6 (𝐻𝐺) = ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵}))
47 sumspansn 27674 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵})))
482, 1, 47mp2an 703 . . . . . . . 8 ((𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ 𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
491, 2hvcomi 27042 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
5049eleq1i 2583 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) ↔ (𝐵 + 𝐴) ∈ (span‘{𝐵}))
5112eleq2i 2584 . . . . . . . 8 (𝐴𝐺𝐴 ∈ (span‘{𝐵}))
5248, 50, 513bitr4ri 291 . . . . . . 7 (𝐴𝐺 ↔ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}))
533, 2spansnm0i 27675 . . . . . . 7 (¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ (span‘{𝐵}) → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5452, 53sylnbi 318 . . . . . 6 𝐴𝐺 → ((span‘{(𝐴 + 𝐵)}) ∩ (span‘{𝐵})) = 0)
5546, 54syl5eq 2560 . . . . 5 𝐴𝐺 → (𝐻𝐺) = 0)
5645, 55oveqan12rd 6451 . . . 4 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = (0 0))
57 h0elch 27278 . . . . 5 0C
5857chj0i 27480 . . . 4 (0 0) = 0
5956, 58syl6eq 2564 . . 3 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0)
60 eqeq2 2525 . . . . 5 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6160notbid 306 . . . 4 (((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0 → (¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0))
6261biimparc 502 . . 3 ((¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = 0 ∧ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) = 0) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6341, 59, 62syl2anc 690 . 2 ((¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹) → ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
64 ioran 509 . 2 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) ↔ (¬ 𝐴𝐺 ∧ ¬ 𝐵𝐹))
65 df-ne 2686 . 2 ((𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)) ↔ ¬ (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) = ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
6663, 64, 653imtr4i 279 1 (¬ (𝐴𝐺𝐵𝐹) → (𝐻 ∩ (𝐹 𝐺)) ≠ ((𝐻𝐹) ∨ (𝐻𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 194   ∨ wo 381   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ≠ wne 2684   ∩ cin 3443  {csn 4028  ‘cfv 5694  (class class class)co 6431   ℋchil 26942   +ℎ cva 26943  0ℎc0v 26947   Sℋ csh 26951   Cℋ cch 26952   +ℋ cph 26954  spancspn 26955   ∨ℋ chj 26956  0ℋc0h 26958 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728  ax-inf2 8301  ax-cc 9020  ax-cnex 9751  ax-resscn 9752  ax-1cn 9753  ax-icn 9754  ax-addcl 9755  ax-addrcl 9756  ax-mulcl 9757  ax-mulrcl 9758  ax-mulcom 9759  ax-addass 9760  ax-mulass 9761  ax-distr 9762  ax-i2m1 9763  ax-1ne0 9764  ax-1rid 9765  ax-rnegex 9766  ax-rrecex 9767  ax-cnre 9768  ax-pre-lttri 9769  ax-pre-lttrn 9770  ax-pre-ltadd 9771  ax-pre-mulgt0 9772  ax-pre-sup 9773  ax-addf 9774  ax-mulf 9775  ax-hilex 27022  ax-hfvadd 27023  ax-hvcom 27024  ax-hvass 27025  ax-hv0cl 27026  ax-hvaddid 27027  ax-hfvmul 27028  ax-hvmulid 27029  ax-hvmulass 27030  ax-hvdistr1 27031  ax-hvdistr2 27032  ax-hvmul0 27033  ax-hfi 27102  ax-his1 27105  ax-his2 27106  ax-his3 27107  ax-his4 27108  ax-hcompl 27225 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-isom 5703  df-riota 6393  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-of 6676  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-supp 7063  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-1o 7327  df-2o 7328  df-oadd 7331  df-omul 7332  df-er 7509  df-map 7626  df-pm 7627  df-ixp 7675  df-en 7722  df-dom 7723  df-sdom 7724  df-fin 7725  df-fsupp 8039  df-fi 8080  df-sup 8111  df-inf 8112  df-oi 8178  df-card 8528  df-acn 8531  df-cda 8753  df-pnf 9835  df-mnf 9836  df-xr 9837  df-ltxr 9838  df-le 9839  df-sub 10022  df-neg 10023  df-div 10437  df-nn 10779  df-2 10837  df-3 10838  df-4 10839  df-5 10840  df-6 10841  df-7 10842  df-8 10843  df-9 10844  df-n0 11051  df-z 11122  df-dec 11237  df-uz 11431  df-q 11534  df-rp 11578  df-xneg 11691  df-xadd 11692  df-xmul 11693  df-ioo 11922  df-ico 11924  df-icc 11925  df-fz 12069  df-fzo 12206  df-fl 12326  df-seq 12535  df-exp 12594  df-hash 12851  df-cj 13549  df-re 13550  df-im 13551  df-sqrt 13685  df-abs 13686  df-clim 13936  df-rlim 13937  df-sum 14137  df-struct 15584  df-ndx 15585  df-slot 15586  df-base 15587  df-sets 15588  df-ress 15589  df-plusg 15668  df-mulr 15669  df-starv 15670  df-sca 15671  df-vsca 15672  df-ip 15673  df-tset 15674  df-ple 15675  df-ds 15678  df-unif 15679  df-hom 15680  df-cco 15681  df-rest 15793  df-topn 15794  df-0g 15812  df-gsum 15813  df-topgen 15814  df-pt 15815  df-prds 15818  df-xrs 15872  df-qtop 15878  df-imas 15879  df-xps 15882  df-mre 15964  df-mrc 15965  df-acs 15967  df-mgm 16960  df-sgrp 17002  df-mnd 17013  df-submnd 17054  df-mulg 17259  df-cntz 17468  df-cmn 17929  df-psmet 19466  df-xmet 19467  df-met 19468  df-bl 19469  df-mopn 19470  df-fbas 19471  df-fg 19472  df-cnfld 19475  df-top 20427  df-bases 20428  df-topon 20429  df-topsp 20430  df-cld 20539  df-ntr 20540  df-cls 20541  df-nei 20618  df-cn 20747  df-cnp 20748  df-lm 20749  df-haus 20835  df-tx 21081  df-hmeo 21274  df-fil 21366  df-fm 21458  df-flim 21459  df-flf 21460  df-xms 21840  df-ms 21841  df-tms 21842  df-cfil 22728  df-cau 22729  df-cmet 22730  df-grpo 26463  df-gid 26464  df-ginv 26465  df-gdiv 26466  df-ablo 26518  df-vc 26533  df-nv 26581  df-va 26584  df-ba 26585  df-sm 26586  df-0v 26587  df-vs 26588  df-nmcv 26589  df-ims 26590  df-dip 26707  df-ssp 26731  df-ph 26824  df-cbn 26875  df-hnorm 26991  df-hba 26992  df-hvsub 26994  df-hlim 26995  df-hcau 26996  df-sh 27230  df-ch 27244  df-oc 27275  df-ch0 27276  df-shs 27333  df-span 27334  df-chj 27335 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator