MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ostthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ostthlem2 25217
Description: Lemma for ostth 25228. Refine ostthlem1 25216 so that it is sufficient to only show equality on the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
ostthlem1.1 (𝜑𝐹𝐴)
ostthlem1.2 (𝜑𝐺𝐴)
ostthlem2.3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
Assertion
Ref Expression
ostthlem2 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐺,𝑝   𝜑,𝑝   𝐴,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hint:   𝑄(𝑝)

Proof of Theorem ostthlem2
Dummy variables 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qrng.q . 2 𝑄 = (ℂflds ℚ)
2 qabsabv.a . 2 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
3 ostthlem1.1 . 2 (𝜑𝐹𝐴)
4 ostthlem1.2 . 2 (𝜑𝐺𝐴)
5 eluz2nn 11670 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ‘2) → 𝑛 ∈ ℕ)
6 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐹𝑝) = (𝐹‘1))
7 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 1 → (𝐺𝑝) = (𝐺‘1))
86, 7eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑝 = 1 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
98imbi2d 330 . . . . 5 (𝑝 = 1 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑦))
11 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑦 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑦))
1210, 11eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑦 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)))
1312imbi2d 330 . . . . 5 (𝑝 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦))))
14 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑧))
15 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑧 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑧))
1614, 15eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑧 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)))
1716imbi2d 330 . . . . 5 (𝑝 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
18 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)))
19 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → (𝐺𝑝) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))
2018, 19eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
2120imbi2d 330 . . . . 5 (𝑝 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
22 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
23 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑛 → (𝐺𝑝) = (𝐺𝑛))
2422, 23eqeq12d 2636 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑝) = (𝐺𝑝) ↔ (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
2524imbi2d 330 . . . . 5 (𝑝 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))))
26 ax-1ne0 9949 . . . . . . 7 1 ≠ 0
271qrng1 25211 . . . . . . . 8 1 = (1r𝑄)
281qrng0 25210 . . . . . . . 8 0 = (0g𝑄)
292, 27, 28abv1z 18753 . . . . . . 7 ((𝐹𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐹‘1) = 1)
303, 26, 29sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘1) = 1)
312, 27, 28abv1z 18753 . . . . . . 7 ((𝐺𝐴 ∧ 1 ≠ 0) → (𝐺‘1) = 1)
324, 26, 31sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘1) = 1)
3330, 32eqtr4d 2658 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘1))
34 ostthlem2.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝))
3534expcom 451 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → (𝜑 → (𝐹𝑝) = (𝐺𝑝)))
36 jcab 906 . . . . . 6 ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) ↔ ((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))))
37 oveq12 6613 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
383adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐹𝐴)
39 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
4039ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
41 zq 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑦 ∈ ℚ)
43 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
4443ad2antll 764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℤ)
45 zq 11738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℚ)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝑧 ∈ ℚ)
471qrngbas 25208 . . . . . . . . . . . 12 ℚ = (Base‘𝑄)
48 qex 11744 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ∈ V
49 cnfldmul 19671 . . . . . . . . . . . . . 14 · = (.r‘ℂfld)
501, 49ressmulr 15927 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∈ V → · = (.r𝑄))
5148, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 · = (.r𝑄)
522, 47, 51abvmul 18750 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
5338, 42, 46, 52syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)))
544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → 𝐺𝐴)
552, 47, 51abvmul 18750 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺𝐴𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑧 ∈ ℚ) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5654, 42, 46, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧)))
5753, 56eqeq12d 2636 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → ((𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)) ↔ ((𝐹𝑦) · (𝐹𝑧)) = ((𝐺𝑦) · (𝐺𝑧))))
5837, 57syl5ibr 236 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2))) → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧))))
5958expcom 451 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (𝜑 → (((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧)) → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6059a2d 29 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝜑 → ((𝐹𝑦) = (𝐺𝑦) ∧ (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
6136, 60syl5bir 233 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝜑 → (𝐹𝑦) = (𝐺𝑦)) ∧ (𝜑 → (𝐹𝑧) = (𝐺𝑧))) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑦 · 𝑧)) = (𝐺‘(𝑦 · 𝑧)))))
629, 13, 17, 21, 25, 33, 35, 61prmind 15323 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (𝜑 → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛)))
6362impcom 446 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
645, 63sylan2 491 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐹𝑛) = (𝐺𝑛))
651, 2, 3, 4, 64ostthlem1 25216 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3186  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  cq 11732  cprime 15309  s cress 15782  .rcmulr 15863  AbsValcabv 18737  fldccnfld 19665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-subrg 18699  df-abv 18738  df-cnfld 19666
This theorem is referenced by:  ostth1  25222  ostth3  25227
  Copyright terms: Public domain W3C validator