HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjneli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjneli 28431
Description: If a vector does not belong to subspace, the norm of its projection is less than its norm. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjnorm.1 𝐻C
pjnorm.2 𝐴 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
pjneli 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))

Proof of Theorem pjneli
StepHypRef Expression
1 pjnorm.1 . . . 4 𝐻C
2 pjnorm.2 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
31, 2pjnormi 28429 . . 3 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴)
43biantrur 527 . 2 ((norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
51, 2pjoc1i 28139 . . . 4 (𝐴𝐻 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
61, 2pjpythi 28430 . . . . . 6 ((norm𝐴)↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2))
7 sq0 12895 . . . . . . . 8 (0↑2) = 0
87oveq2i 6615 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0)
91, 2pjhclii 28130 . . . . . . . . . . 11 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
109normcli 27837 . . . . . . . . . 10 (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℝ
1110resqcli 12889 . . . . . . . . 9 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
1211recni 9996 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
1312addid1i 10167 . . . . . . 7 (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + 0) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2)
148, 13eqtr2i 2644 . . . . . 6 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2))
156, 14eqeq12i 2635 . . . . 5 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)))
161choccli 28015 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐻) ∈ C
1716, 2pjhclii 28130 . . . . . . . . . 10 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ
1817normcli 27837 . . . . . . . . 9 (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∈ ℝ
1918resqcli 12889 . . . . . . . 8 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℝ
2019recni 9996 . . . . . . 7 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) ∈ ℂ
21 0cn 9976 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
2221sqcli 12884 . . . . . . 7 (0↑2) ∈ ℂ
2312, 20, 22addcani 10173 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2))
24 normge0 27832 . . . . . . . 8 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)))
2517, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))
26 0le0 11054 . . . . . . 7 0 ≤ 0
27 0re 9984 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2818, 27sq11i 12894 . . . . . . 7 ((0 ≤ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) ∧ 0 ≤ 0) → (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0))
2925, 26, 28mp2an 707 . . . . . 6 (((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2) = (0↑2) ↔ (norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0)
3017norm-i-i 27839 . . . . . 6 ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴)) = 0 ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3123, 29, 303bitri 286 . . . . 5 ((((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + ((norm‘((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴))↑2)) = (((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) + (0↑2)) ↔ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0)
3215, 31bitr2i 265 . . . 4 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) = 0 ↔ ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2))
33 normge0 27832 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
342, 33ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm𝐴)
35 normge0 27832 . . . . . 6 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
369, 35ax-mp 5 . . . . 5 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))
372normcli 27837 . . . . . 6 (norm𝐴) ∈ ℝ
3837, 10sq11i 12894 . . . . 5 ((0 ≤ (norm𝐴) ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))) → (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
3934, 36, 38mp2an 707 . . . 4 (((norm𝐴)↑2) = ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴))↑2) ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
405, 32, 393bitri 286 . . 3 (𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) = (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4140necon3bbii 2837 . 2 𝐴𝐻 ↔ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)))
4210, 37ltleni 10099 . 2 ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴) ↔ ((norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) ≤ (norm𝐴) ∧ (norm𝐴) ≠ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴))))
434, 41, 423bitr4i 292 1 𝐴𝐻 ↔ (norm‘((proj𝐻)‘𝐴)) < (norm𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  cexp 12800  chil 27625  normcno 27629  0c0v 27630   C cch 27635  cort 27636  projcpjh 27643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960  ax-hilex 27705  ax-hfvadd 27706  ax-hvcom 27707  ax-hvass 27708  ax-hv0cl 27709  ax-hvaddid 27710  ax-hfvmul 27711  ax-hvmulid 27712  ax-hvmulass 27713  ax-hvdistr1 27714  ax-hvdistr2 27715  ax-hvmul0 27716  ax-hfi 27785  ax-his1 27788  ax-his2 27789  ax-his3 27790  ax-his4 27791  ax-hcompl 27908
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-lm 20943  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cfil 22961  df-cau 22962  df-cmet 22963  df-grpo 27196  df-gid 27197  df-ginv 27198  df-gdiv 27199  df-ablo 27248  df-vc 27263  df-nv 27296  df-va 27299  df-ba 27300  df-sm 27301  df-0v 27302  df-vs 27303  df-nmcv 27304  df-ims 27305  df-dip 27405  df-ssp 27426  df-ph 27517  df-cbn 27568  df-hnorm 27674  df-hba 27675  df-hvsub 27677  df-hlim 27678  df-hcau 27679  df-sh 27913  df-ch 27927  df-oc 27958  df-ch0 27959  df-shs 28016  df-pjh 28103
This theorem is referenced by:  pjnel  28434
  Copyright terms: Public domain W3C validator