Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem regsumfsum 19733
 Description: Relate a group sum on (ℂfld ↾s ℝ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 19732. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
regsumfsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
regsumfsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
regsumfsum (𝜑 → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem regsumfsum
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 19669 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 19670 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
3 eqid 2621 . . 3 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
4 cnfldex 19668 . . . 4 fld ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6 regsumfsum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 ax-resscn 9937 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
9 regsumfsum.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 eqid 2621 . . . 4 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
119, 10fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
12 0red 9985 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1413addid2d 10181 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1513addid1d 10180 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
1614, 15jca 554 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
171, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 16gsumress 17197 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)))
189recnd 10012 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
196, 18gsumfsum 19732 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2017, 19eqtr3d 2657 1 (𝜑 → ((ℂflds ℝ) Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555   ↦ cmpt 4673  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883  Σcsu 14350   ↾s cress 15782   Σg cgsu 16022  ℂfldccnfld 19665 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-cnfld 19666 This theorem is referenced by:  rrxdsfi  39809
 Copyright terms: Public domain W3C validator