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Theorem sge0seq 39996
Description: A series of nonnegative reals agrees with the generalized sum of nonnegative reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0seq.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
sge0seq.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
sge0seq.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
sge0seq.g 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
Assertion
Ref Expression
sge0seq (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Proof of Theorem sge0seq
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑗 𝑤 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0seq.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 sge0seq.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 12230 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 sge0seq.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,)+∞))
54ffvelrnda 6320 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
63, 5sseldi 3585 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7 readdcl 9971 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
87adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑖) ∈ ℝ)
91, 2, 6, 8seqf 12770 . . . . . 6 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ)
10 sge0seq.g . . . . . . . 8 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹)
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
1211feq1d 5992 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺:𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℝ))
139, 12mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑍⟶ℝ)
14 frn 6015 . . . . 5 (𝐺:𝑍⟶ℝ → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ)
16 ressxr 10035 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
1815, 17sstrd 3597 . . 3 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ ℝ*)
19 fvex 6163 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
201, 19eqeltri 2694 . . . . 5 𝑍 ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑍 ∈ V)
22 icossicc 12210 . . . . . 6 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞))
244, 23fssd 6019 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑍⟶(0[,]+∞))
2521, 24sge0xrcl 39935 . . 3 (𝜑 → (Σ^𝐹) ∈ ℝ*)
26 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ∈ ran 𝐺)
27 ffn 6007 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑍⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝑍)
2813, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
29 fvelrnb 6205 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑍 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑧 ∈ ran 𝐺 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧))
3226, 31mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → ∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧)
3322, 5sseldi 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
34 elfzuz 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3534, 1syl6eleqr 2709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3635ssriv 3591 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ⊆ 𝑍)
3821, 33, 37sge0lessmpt 39949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
39383ad2ant1 1080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
40 fzfid 12720 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
4135, 5sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
4240, 41sge0fsummpt 39940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
43423ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
44 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝜑)
4535adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 𝑘𝑍)
46 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
4744, 45, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
481eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
4948biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
516recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5244, 45, 51syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5347, 50, 52fsumser 14402 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
54533adant3 1079 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5543, 54eqtrd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗))
5610eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 seq𝑀( + , 𝐹) = 𝐺
5756fveq1i 6154 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = (𝐺𝑗))
59 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝐺𝑗) = 𝑧)
6055, 58, 593eqtrrd 2660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 = (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))))
614feqmptd 6211 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))
6261fveq2d 6157 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
63623ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
6460, 63breq12d 4631 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → (𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ↔ (Σ^‘(𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) ↦ (𝐹𝑘))) ≤ (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)))))
6539, 64mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍 ∧ (𝐺𝑗) = 𝑧) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
66653exp 1261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6766adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (𝑗𝑍 → ((𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹))))
6867rexlimdv 3024 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → (∃𝑗𝑍 (𝐺𝑗) = 𝑧𝑧 ≤ (Σ^𝐹)))
6932, 68mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ran 𝐺) → 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
7069ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹))
71 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹))
7220a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑍 ∈ V)
735ad4ant14 1290 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞))
74 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 ∈ ℝ)
75 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^𝐹))
7662adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → (Σ^𝐹) = (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7775, 76breqtrd 4644 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7877adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → 𝑧 < (Σ^‘(𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))))
7971, 72, 73, 74, 78sge0gtfsumgt 39993 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
8023ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
81 elpwinss 38734 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤𝑍)
82813ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤𝑍)
83 elinel2 3783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑤 ∈ Fin)
84833ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → 𝑤 ∈ Fin)
8580, 1, 82, 84uzfissfz 39037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
86853adant1r 1316 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
87 simpl1r 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 ∈ ℝ)
8883adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑤 ∈ Fin)
8961, 6fmpt3d 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ)
9089ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
9181sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
9291adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → 𝑘𝑍)
9390, 92ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑤) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9488, 93fsumrecl 14406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9594ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
96953adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9735, 6sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9840, 97fsumrecl 14406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
9998ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
100993adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
101 simpl3 1064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘))
10240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → (𝑀...𝑗) ∈ Fin)
10397adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
104 0xr 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℝ*
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ∈ ℝ*)
106 pnfxr 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 +∞ ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘𝑍) → +∞ ∈ ℝ*)
108 icogelb 12175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (0[,)+∞)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
109105, 107, 5, 108syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
11035, 109sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
111110adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
112 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗))
113102, 103, 111, 112fsumless 14466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
114113adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1151143ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
11687, 96, 100, 101, 115ltletrd 10149 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) ∧ 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
117116ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
118117reximdv 3011 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → (∃𝑗𝑍 𝑤 ⊆ (𝑀...𝑗) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
11986, 118mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1201193exp 1261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))))
122121rexlimdv 3024 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑤 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)𝑧 < Σ𝑘𝑤 (𝐹𝑘) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
12379, 122mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
1249ffnd 6008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍)
12650, 48sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
127 fnfvelrn 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn 𝑍𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
128125, 126, 127syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹))
12910a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝐺 = seq𝑀( + , 𝐹))
130129rneqd 5318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗𝑍) → ran 𝐺 = ran seq𝑀( + , 𝐹))
13153, 130eleq12d 2692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺 ↔ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ran seq𝑀( + , 𝐹)))
132128, 131mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
133132adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
1341333adant3 1079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺)
135 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘))
136 breq2 4622 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → (𝑧 < 𝑦𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)))
137136rspcev 3298 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) ∈ ran 𝐺𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
138134, 135, 137syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
1391383exp 1261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑗𝑍 → (𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)))
140139rexlimdv 3024 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
141140adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → (∃𝑗𝑍 𝑧 < Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)(𝐹𝑘) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
142123, 141mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 < (Σ^𝐹)) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦)
143142ex 450 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
144143ralrimiva 2961 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))
145 supxr2 12095 . . 3 (((ran 𝐺 ⊆ ℝ* ∧ (Σ^𝐹) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑧 ≤ (Σ^𝐹) ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑧 < (Σ^𝐹) → ∃𝑦 ∈ ran 𝐺 𝑧 < 𝑦))) → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
14618, 25, 70, 144, 145syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) = (Σ^𝐹))
147146eqcomd 2627 1 (𝜑 → (Σ^𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3189  cin 3558  wss 3559  𝒫 cpw 4135   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ran crn 5080   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  supcsup 8298  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891  +∞cpnf 10023  *cxr 10025   < clt 10026  cle 10027  cz 11329  cuz 11639  [,)cico 12127  [,]cicc 12128  ...cfz 12276  seqcseq 12749  Σcsu 14358  Σ^csumge0 39912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-sumge0 39913
This theorem is referenced by:  voliunsge0lem  40022  ovolval2  40191
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