Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2a 14395
 Description: Lemma for summo 14397. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
summolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
summolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
summolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
summolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
summolem2a (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐵,𝑓,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2 summo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 summolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 summolem2.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
6 ovex 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
76f1oen 7936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
9 fzfid 12728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
108ensymd 7967 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≈ (1...𝑁))
11 enfii 8137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
129, 10, 11syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 hashen 13091 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
149, 12, 13syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
158, 14mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴))
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
17 nnnn0 11259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 13090 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2015, 19eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑁)
2120oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁))
22 isoeq4 6535 . . . . . . . . 9 ((1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
244, 23mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
25 isof1o 6538 . . . . . . 7 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
27 f1of 6104 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
29 nnuz 11683 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
3016, 29syl6eleq 2708 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
31 eluzfz2 12307 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
3328, 32ffvelrnd 6326 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
343, 33sseldd 3589 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
353sselda 3588 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
36 f1ocnvfv2 6498 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
3726, 36sylan 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
38 f1ocnv 6116 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
39 f1of 6104 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4026, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4140ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁))
42 elfzle2 12303 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
4424adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
45 fzssuz 12340 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
46 uzssz 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
47 zssre 11344 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3597 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4945, 48sstri 3597 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
50 ressxr 10043 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
5149, 50sstri 3597 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
533adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
54 uzssz 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5554, 47sstri 3597 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5653, 55syl6ss 3600 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5756, 50syl6ss 3600 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5832adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
59 leisorel 13198 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1332 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
6143, 60mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁))
6237, 61eqbrtrrd 4647 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ≤ (𝐾𝑁))
63 eluzelz 11657 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
6435, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
65 eluzelz 11657 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6634, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6766adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
68 eluz 11661 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6964, 67, 68syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
7062, 69mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛))
71 elfzuzb 12294 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛)))
7235, 70, 71sylanbrc 697 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
7372ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
7473ssrdv 3594 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
751, 2, 34, 74fsumcvg 14392 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
76 addid2 10179 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (0 + 𝑚) = 𝑚)
7776adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (0 + 𝑚) = 𝑚)
78 addid1 10176 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
7978adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
80 addcl 9978 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
8180adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
82 0cnd 9993 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
8332, 21eleqtrrd 2701 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(#‘𝐴)))
84 iftrue 4070 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8584adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8685, 2eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8786ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
88 iffalse 4073 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
89 0cn 9992 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
9088, 89syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9187, 90pm2.61d1 171 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9291adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9392, 1fmptd 6351 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
94 elfzelz 12300 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
95 ffvelrn 6323 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9693, 94, 95syl2an 494 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
97 fveq2 6158 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
9897eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
99 eldifi 3716 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))))
100 elfzelz 12300 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 eldifn 3717 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
103102, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
104103, 89syl6eqel 2706 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1051fvmpt2 6258 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
106101, 104, 105syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
107106, 103eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
10898, 107vtoclga 3262 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
109108adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 0)
110 isof1o 6538 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
111 f1of 6104 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1124, 110, 1113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
113112ffvelrnda 6325 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
114113iftrued 4072 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
1153adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
116115, 113sseldd 3589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
117 eluzelz 11657 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
118116, 117syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
119 nfv 1840 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
120 nfv 1840 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
121 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
122 nfcv 2761 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
123120, 121, 122nfif 4093 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0)
124123nfel1 2775 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
125119, 124nfim 1822 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
126 fvex 6168 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
127 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
128 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
129127, 128ifbieq1d 4087 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
130129eleq1d 2683 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
131130imbi2d 330 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)))
132125, 126, 131, 91vtoclf 3248 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
133132adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
134 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
135 csbeq1 3522 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
136134, 135ifbieq1d 4087 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
137 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
138 nfv 1840 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
139 nfcsb1v 3535 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
140138, 139, 122nfif 4093 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
141 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
142 csbeq1a 3528 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
143141, 142ifbieq1d 4087 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
144137, 140, 143cbvmpt 4719 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
1451, 144eqtri 2643 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
146136, 145fvmptg 6247 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
147118, 133, 146syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
148 elfznn 12328 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
149148adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
150114, 133eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
151 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑥))
152151csbeq1d 3526 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
153 summolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
154152, 153fvmptg 6247 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
155149, 150, 154syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
156114, 147, 1553eqtr4rd 2666 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
15777, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156seqcoll 13202 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
158 summo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
15916, 16jca 554 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1601, 2, 158, 153, 159, 5, 26summolem3 14394 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
161157, 160eqtr4d 2658 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
16275, 161breqtrd 4649 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ⦋csb 3519   ∖ cdif 3557   ⊆ wss 3560  ifcif 4064   class class class wbr 4623   ↦ cmpt 4683  ◡ccnv 5083  ⟶wf 5853  –1-1-onto→wf1o 5856  ‘cfv 5857   Isom wiso 5858  (class class class)co 6615   ≈ cen 7912  Fincfn 7915  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  ℝ*cxr 10033   < clt 10034   ≤ cle 10035  ℕcn 10980  ℕ0cn0 11252  ℤcz 11337  ℤ≥cuz 11647  ...cfz 12284  seqcseq 12757  #chash 13073   ⇝ cli 14165 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169 This theorem is referenced by:  summolem2  14396  zsum  14398
 Copyright terms: Public domain W3C validator