MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2a 14235
Description: Lemma for summo 14237. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.4 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
summolem2.5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
summolem2.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
summolem2.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
summolem2.8 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
summolem2.9 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
Assertion
Ref Expression
summolem2a (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑛,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑛   𝑘,𝐺,𝑛   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐵,𝑓,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑘,𝑛)   𝐾(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem summolem2a
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 summo.1 . . 3 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
2 summo.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 summolem2.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 summolem2.9 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
5 summolem2.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
6 ovex 6551 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑁) ∈ V
76f1oen 7835 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
85, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑁) ≈ 𝐴)
9 fzfid 12585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
108ensymd 7866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ≈ (1...𝑁))
11 enfii 8035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ Fin)
129, 10, 11syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
13 hashen 12945 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
149, 12, 13syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴) ↔ (1...𝑁) ≈ 𝐴))
158, 14mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = (#‘𝐴))
16 summolem2.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
17 nnnn0 11142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
18 hashfz1 12944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(1...𝑁)) = 𝑁)
2015, 19eqtr3d 2641 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝑁)
2120oveq2d 6539 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁))
22 isoeq4 6444 . . . . . . . . 9 ((1...(#‘𝐴)) = (1...𝑁) → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) ↔ 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴)))
244, 23mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
25 isof1o 6447 . . . . . . 7 (𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) → 𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴)
27 f1of 6031 . . . . . 6 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
2826, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾:(1...𝑁)⟶𝐴)
29 nnuz 11551 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
3016, 29syl6eleq 2693 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
31 eluzfz2 12171 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
3230, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (1...𝑁))
3328, 32ffvelrnd 6249 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ 𝐴)
343, 33sseldd 3564 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
353sselda 3563 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
36 f1ocnvfv2 6407 . . . . . . . . 9 ((𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
3726, 36sylan 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) = 𝑛)
38 f1ocnv 6043 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:(1...𝑁)–1-1-onto𝐴𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁))
39 f1of 6031 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾:𝐴1-1-onto→(1...𝑁) → 𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4026, 38, 393syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾:𝐴⟶(1...𝑁))
4140ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁))
42 elfzle2 12167 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑛) ≤ 𝑁)
4424adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴))
45 fzssuz 12204 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑁) ⊆ (ℤ‘1)
46 uzssz 11535 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
47 zssre 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
4846, 47sstri 3572 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘1) ⊆ ℝ
4945, 48sstri 3572 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑁) ⊆ ℝ
50 ressxr 9935 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℝ*
5149, 50sstri 3572 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ ℝ*
5251a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → (1...𝑁) ⊆ ℝ*)
533adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
54 uzssz 11535 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
5554, 47sstri 3572 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
5653, 55syl6ss 3575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5756, 50syl6ss 3575 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
5832adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑁 ∈ (1...𝑁))
59 leisorel 13049 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 Isom < , < ((1...𝑁), 𝐴) ∧ ((1...𝑁) ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*) ∧ ((𝐾𝑛) ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (1...𝑁))) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
6044, 52, 57, 41, 58, 59syl122anc 1326 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑛) ≤ 𝑁 ↔ (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁)))
6143, 60mpbid 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾‘(𝐾𝑛)) ≤ (𝐾𝑁))
6237, 61eqbrtrrd 4597 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ≤ (𝐾𝑁))
63 eluzelz 11525 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
6435, 63syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ ℤ)
65 eluzelz 11525 . . . . . . . . . 10 ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6634, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
6766adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
68 eluz 11529 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℤ) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
6964, 67, 68syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐴) → ((𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛) ↔ 𝑛 ≤ (𝐾𝑁)))
7062, 69mpbird 245 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝐴) → (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛))
71 elfzuzb 12158 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐾𝑁) ∈ (ℤ𝑛)))
7235, 70, 71sylanbrc 694 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝐴) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁)))
7372ex 448 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝐴𝑛 ∈ (𝑀...(𝐾𝑁))))
7473ssrdv 3569 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (𝑀...(𝐾𝑁)))
751, 2, 34, 74fsumcvg 14232 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)))
76 addid2 10066 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (0 + 𝑚) = 𝑚)
7776adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (0 + 𝑚) = 𝑚)
78 addid1 10063 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚 + 0) = 𝑚)
7978adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℂ) → (𝑚 + 0) = 𝑚)
80 addcl 9870 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
8180adantl 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑚 + 𝑥) ∈ ℂ)
82 0cnd 9885 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
8332, 21eleqtrrd 2686 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (1...(#‘𝐴)))
84 iftrue 4037 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8584adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8685, 2eqeltrd 2683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
8786ex 448 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
88 iffalse 4040 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
89 0cn 9884 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
9088, 89syl6eqel 2691 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9187, 90pm2.61d1 169 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9291adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
9392, 1fmptd 6273 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
94 elfzelz 12164 . . . . 5 (𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) → 𝑚 ∈ ℤ)
95 ffvelrn 6246 . . . . 5 ((𝐹:ℤ⟶ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
9693, 94, 95syl2an 492 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴)))) → (𝐹𝑚) ∈ ℂ)
97 fveq2 6084 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑚))
9897eqeq1d 2607 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑚) = 0))
99 eldifi 3689 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))))
100 elfzelz 12164 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) → 𝑘 ∈ ℤ)
10199, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
102 eldifn 3690 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
103102, 88syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
104103, 89syl6eqel 2691 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1051fvmpt2 6181 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
106101, 104, 105syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
107106, 103eqtrd 2639 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
10898, 107vtoclga 3240 . . . . 5 (𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴) → (𝐹𝑚) = 0)
109108adantl 480 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ((𝑀...(𝐾‘(#‘𝐴))) ∖ 𝐴)) → (𝐹𝑚) = 0)
110 isof1o 6447 . . . . . . . 8 (𝐾 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → 𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
111 f1of 6031 . . . . . . . 8 (𝐾:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1124, 110, 1113syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐾:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
113112ffvelrnda 6248 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ 𝐴)
114113iftrued 4039 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
1153adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
116115, 113sseldd 3564 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
117 eluzelz 11525 . . . . . . 7 ((𝐾𝑥) ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
118116, 117syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) ∈ ℤ)
119 nfv 1828 . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
120 nfv 1828 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) ∈ 𝐴
121 nfcsb1v 3510 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐾𝑥) / 𝑘𝐵
122 nfcv 2746 . . . . . . . . . . 11 𝑘0
123120, 121, 122nfif 4060 . . . . . . . . . 10 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0)
124123nfel1 2760 . . . . . . . . 9 𝑘if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ
125119, 124nfim 1811 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
126 fvex 6094 . . . . . . . 8 (𝐾𝑥) ∈ V
127 eleq1 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (𝑘𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
128 csbeq1a 3503 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝐾𝑥) → 𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
129127, 128ifbieq1d 4054 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑥) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
130129eleq1d 2667 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑥) → (if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ ↔ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ))
131130imbi2d 328 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝐾𝑥) → ((𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)))
132125, 126, 131, 91vtoclf 3226 . . . . . . 7 (𝜑 → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
133132adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ)
134 eleq1 2671 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → (𝑛𝐴 ↔ (𝐾𝑥) ∈ 𝐴))
135 csbeq1 3497 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐾𝑥) → 𝑛 / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
136134, 135ifbieq1d 4054 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝐾𝑥) → if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
137 nfcv 2746 . . . . . . . . 9 𝑛if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)
138 nfv 1828 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛𝐴
139 nfcsb1v 3510 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑛 / 𝑘𝐵
140138, 139, 122nfif 4060 . . . . . . . . 9 𝑘if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0)
141 eleq1 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘𝐴𝑛𝐴))
142 csbeq1a 3503 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛𝐵 = 𝑛 / 𝑘𝐵)
143141, 142ifbieq1d 4054 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
144137, 140, 143cbvmpt 4667 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0)) = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
1451, 144eqtri 2627 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑛 ∈ ℤ ↦ if(𝑛𝐴, 𝑛 / 𝑘𝐵, 0))
146136, 145fvmptg 6170 . . . . . 6 (((𝐾𝑥) ∈ ℤ ∧ if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
147118, 133, 146syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐹‘(𝐾𝑥)) = if((𝐾𝑥) ∈ 𝐴, (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵, 0))
148 elfznn 12192 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ)
149148adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → 𝑥 ∈ ℕ)
150114, 133eqeltrrd 2684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
151 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑥 → (𝐾𝑛) = (𝐾𝑥))
152151csbeq1d 3501 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑥(𝐾𝑛) / 𝑘𝐵 = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
153 summolem2.4 . . . . . . 7 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐾𝑛) / 𝑘𝐵)
154152, 153fvmptg 6170 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
155149, 150, 154syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐾𝑥) / 𝑘𝐵)
156114, 147, 1553eqtr4rd 2650 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝐻𝑥) = (𝐹‘(𝐾𝑥)))
15777, 79, 81, 82, 4, 83, 3, 96, 109, 156seqcoll 13053 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
158 summo.3 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
15916, 16jca 552 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
1601, 2, 158, 153, 159, 5, 26summolem3 14234 . . 3 (𝜑 → (seq1( + , 𝐺)‘𝑁) = (seq1( + , 𝐻)‘𝑁))
161157, 160eqtr4d 2642 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝐾𝑁)) = (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
16275, 161breqtrd 4599 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  csb 3494  cdif 3532  wss 3535  ifcif 4031   class class class wbr 4573  cmpt 4633  ccnv 5023  wf 5782  1-1-ontowf1o 5785  cfv 5786   Isom wiso 5787  (class class class)co 6523  cen 7811  Fincfn 7814  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  cn 10863  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  ...cfz 12148  seqcseq 12614  #chash 12930  cli 14005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009
This theorem is referenced by:  summolem2  14236  zsum  14238
  Copyright terms: Public domain W3C validator