MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcl 11802
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 11781 . 2 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 11800 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2mpan2 706 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6604   / cdiv 10628  2c2 11014  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-2 11023  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  rphalfcld  11828  rpltrp  12113  cau3lem  14028  2clim  14237  addcn2  14258  mulcn2  14260  climcau  14335  metcnpi3  22261  ngptgp  22350  iccntr  22532  reconnlem2  22538  opnreen  22542  xmetdcn2  22548  cnllycmp  22663  iscfil3  22979  cfilfcls  22980  iscmet3lem3  22996  iscmet3lem1  22997  iscmet3lem2  22998  iscmet3  22999  lmcau  23019  bcthlem5  23033  ivthlem2  23128  uniioombl  23263  dvcnvre  23686  aaliou  23997  ulmcaulem  24052  ulmcau  24053  ulmcn  24057  ulmdvlem3  24060  tanregt0  24189  argregt0  24260  argrege0  24261  logimul  24264  resqrtcn  24390  asin1  24521  reasinsin  24523  atanbnd  24553  atan1  24555  sqrtlim  24599  basellem4  24710  chpchtlim  25068  mulog2sumlem2  25124  pntlem3  25198  vacn  27395  ubthlem1  27572  nmcexi  28731  poimirlem29  33067  heicant  33073  ftc1anclem6  33119  ftc1anclem7  33120  ftc1anc  33122  heibor1lem  33237  heiborlem8  33246  bfplem2  33251  supxrge  39015  suplesup  39016  infleinflem1  39047  infleinf  39049  addlimc  39281  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  sge0xaddlem2  39955  smflimlem4  40286
  Copyright terms: Public domain W3C validator