MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wilthimp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wilthimp 24843
Description: The forward implication of Wilson's theorem wilth 24842 (see wilthlem3 24841), expressed using the modulo operation: For any prime 𝑝 we have (𝑝 − 1)!≡ − 1 (mod 𝑝), see theorem 5.24 in [ApostolNT] p. 116. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
wilthimp (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Proof of Theorem wilthimp
StepHypRef Expression
1 wilth 24842 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2 eluz2nn 11764 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3 nnm1nn0 11372 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
54faccld 13111 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
65nnzd 11519 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
76peano2zd 11523 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
8 dvdsval3 15031 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
92, 7, 8syl2anc 694 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
109biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
115nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12 1cnd 10094 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
1311, 12jca 553 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
15 subneg 10368 . . . . . . . 8 (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
1710, 16breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
18 neg1z 11451 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℤ
1918a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → -1 ∈ ℤ)
202, 6, 193jca 1261 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
22 moddvds 15038 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
2417, 23mpbird 247 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
2524ex 449 . . . 4 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
269, 25sylbid 230 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
2726imp 444 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
281, 27sylbi 207 1 (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  -cneg 10305  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725   mod cmo 12708  !cfa 13100  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-subrg 18826  df-cnfld 19795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator