Theorem wilthimp 24511

Description: The forward implication of Wilson's theorem wilth 24510 (see wilthlem3 24509), expressed using the modulo operation: For any prime 𝑝 we have (𝑝 − 1)!≡ − 1 (mod 𝑝), see theorem 5.24 in [ApostolNT] p. 116. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wilthimp	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Proof of Theorem wilthimp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wilth 24510	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)))
2		eluz2nn 11554	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3		nnm1nn0 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
5	4	faccld 12884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 11309	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 11313	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ)
8		dvdsval3 14767	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
9	2, 7, 8	syl2anc 690	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) ↔ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0))
10	9	biimpar 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
11	5	nncnd 10879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ)
12		1cnd 9908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℂ)
13	11, 12	jca 552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
15		subneg 10177	. . . . . . . 8 ⊢ (((!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) − -1) = ((!‘(𝑃 − 1)) + 1))
17	10, 16	breqtrrd 4601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1))
18		neg1z 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℤ
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → -1 ∈ ℤ)
20	2, 6, 19	3jca 1234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
21	20	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ))
22		moddvds 14771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (!‘(𝑃 − 1)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → (((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) − -1)))
24	17, 23	mpbird 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
25	24	ex 448	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((!‘(𝑃 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 0 → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
26	9, 25	sylbid 228	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃)))
27	26	imp 443	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∥ ((!‘(𝑃 − 1)) + 1)) → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
28	1, 27	sylbi 205	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((!‘(𝑃 − 1)) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1975   class class class wbr 4573  ‘cfv 5786  (class class class)co 6523  ℂcc 9786  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   − cmin 10113  -cneg 10114  ℕcn 10863  2c2 10913  ℕ₀cn0 11135  ℤcz 11206  ℤ_≥cuz 11515   mod cmo 12481  !cfa 12873   ∥ cdvds 14763  ℙcprime 15165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-rp 11661  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-prm 15166  df-phi 15251  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-mulg 17306  df-subg 17356  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-subrg 18543  df-cnfld 19510

This theorem is referenced by: (None)