Theorem ab2rexex2 6339

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph normally has free-variable parameters x, y, and z. Compare abrexex2 6327. (Contributed by NM, 20-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ab2rexex2.1	|- A e. _V
ab2rexex2.2	|- B e. _V
ab2rexex2.3	|- { z | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
ab2rexex2	|- { z | E. x e. A E. y e. B ph } e. _V

Distinct variable groups:   x, z, A   y, z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( y)   B( x)

Proof of Theorem ab2rexex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ab2rexex2.1	. 2 |- A e. _V
2		ab2rexex2.2	. . 3 |- B e. _V
3		ab2rexex2.3	. . 3 |- { z | ph } e. _V
4	2, 3	abrexex2 6327	. 2 |- { z | E. y e. B ph } e. _V
5	1, 4	abrexex2 6327	1 |- { z | E. x e. A E. y e. B ph } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   {cab 2220   E.wrex 2523   _Vcvv 2815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366

This theorem is referenced by: (None)