Theorem abrexex2 5974

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph is normally has free-variable parameters x and y. See also abrexex 5967. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexex2	|- { y | E. x e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1489	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2253	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1888	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexxy 2444	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1725	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2410	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2235	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2100	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2414	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2228	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2136	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3779	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
14		abrexex2.2	. . . 4 |- { y | ph } e. _V
15	13, 14	iunex 5973	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } e. _V
16	12, 15	eqeltrri 2186	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V
17	11, 16	eqeltri 2185	1 |- { y | E. x e. A ph } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1461   [wsb 1716   {cab 2099   E.wrex 2389   _Vcvv 2655   U_ciun 3777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087

This theorem is referenced by:  abexssex  5975  abexex  5976  oprabrexex2  5980  ab2rexex  5981  ab2rexex2  5982