Theorem abrexex2 6103

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph is normally has free-variable parameters x and y. See also abrexex 6096. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexex2	|- { y | E. x e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1932	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexxy 2509	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1764	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2471	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2294	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2157	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2286	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2194	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3875	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
14		abrexex2.2	. . . 4 |- { y | ph } e. _V
15	13, 14	iunex 6102	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } e. _V
16	12, 15	eqeltrri 2244	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V
17	11, 16	eqeltri 2243	1 |- { y | E. x e. A ph } e. _V

Syntax hints:   [wsb 1755   e. wcel 2141   {cab 2156   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   U_ciun 3873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  abexssex  6104  abexex  6105  oprabrexex2  6109  ab2rexex  6110  ab2rexex2  6111