Theorem abrexex2 6128

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph is normally has free-variable parameters x and y. See also abrexex 6121. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexex2	|- { y | E. x e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1939	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexxy 2516	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1771	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2301	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2164	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2293	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2201	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3890	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
14		abrexex2.2	. . . 4 |- { y | ph } e. _V
15	13, 14	iunex 6127	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } e. _V
16	12, 15	eqeltrri 2251	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V
17	11, 16	eqeltri 2250	1 |- { y | E. x e. A ph } e. _V

Syntax hints:   [wsb 1762   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   _Vcvv 2739   U_ciun 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  abexssex  6129  abexex  6130  oprabrexex2  6134  ab2rexex  6135  ab2rexex2  6136