Theorem abrexex2 6190

Description: Existence of an existentially restricted class abstraction. ph is normally has free-variable parameters x and y. See also abrexex 6183. (Contributed by NM, 12-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
abrexex2.1	|- A e. _V
abrexex2.2	|- { y | ph } e. _V

Assertion

Ref	Expression
abrexex2	|- { y | E. x e. A ph } e. _V

Distinct variable group:   x, y, A

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem abrexex2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1542	. . . 4 |- F/ z E. x e. A ph
2		nfcv 2339	. . . . 5 |- F/_ y A
3		nfs1v 1958	. . . . 5 |- F/ y [ z / y ] ph
4	2, 3	nfrexw 2536	. . . 4 |- F/ y E. x e. A [ z / y ] ph
5		sbequ12 1785	. . . . 5 |- ( y = z -> ( ph <-> [ z / y ] ph ) )
6	5	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( y = z -> ( E. x e. A ph <-> E. x e. A [ z / y ] ph ) )
7	1, 4, 6	cbvab 2320	. . 3 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
8		df-clab 2183	. . . . 5 |- ( z e. { y | ph } <-> [ z / y ] ph )
9	8	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. x e. A z e. { y | ph } <-> E. x e. A [ z / y ] ph )
10	9	abbii 2312	. . 3 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } = { z | E. x e. A [ z / y ] ph }
11	7, 10	eqtr4i 2220	. 2 |- { y | E. x e. A ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
12		df-iun 3919	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } = { z | E. x e. A z e. { y | ph } }
13		abrexex2.1	. . . 4 |- A e. _V
14		abrexex2.2	. . . 4 |- { y | ph } e. _V
15	13, 14	iunex 6189	. . 3 |- U_ x e. A { y | ph } e. _V
16	12, 15	eqeltrri 2270	. 2 |- { z | E. x e. A z e. { y | ph } } e. _V
17	11, 16	eqeltri 2269	1 |- { y | E. x e. A ph } e. _V

Syntax hints:   [wsb 1776   e. wcel 2167   {cab 2182   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   U_ciun 3917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  abexssex  6191  abexex  6192  oprabrexex2  6196  ab2rexex  6197  ab2rexex2  6198