Theorem ablcom 13509

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablcom	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 13497	. 2 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
2		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	cmncom 13508	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	1, 4	syl3an1 1282	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780  CMndccmn 13490   Abelcabl 13491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-cmn 13492  df-abl 13493

This theorem is referenced by:  ablinvadd  13516  ablsub2inv  13517  ablsubadd  13518  abladdsub  13521  ablpncan3  13523  ablsub32  13528  ablnnncan  13529  ablsubsub23  13531  eqgabl  13536  subgabl  13538  ablnsg  13540  ablressid  13541  imasabl  13542  subrngringnsg  13837