Theorem ablcom 13889

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablcom	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 13877	. 2 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
2		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	cmncom 13888	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	1, 4	syl3an1 1306	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159  CMndccmn 13870   Abelcabl 13871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-cmn 13872  df-abl 13873

This theorem is referenced by:  ablinvadd  13896  ablsub2inv  13897  ablsubadd  13898  abladdsub  13901  ablpncan3  13903  ablsub32  13908  ablnnncan  13909  ablsubsub23  13911  eqgabl  13916  subgabl  13918  ablnsg  13920  ablressid  13921  imasabl  13922  subrngringnsg  14218