Theorem ablcom 13754

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablcom	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 13742	. 2 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
2		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	cmncom 13753	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	1, 4	syl3an1 1283	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  CMndccmn 13735   Abelcabl 13736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-iota 5251  df-fv 5298  df-ov 5970  df-cmn 13737  df-abl 13738

This theorem is referenced by:  ablinvadd  13761  ablsub2inv  13762  ablsubadd  13763  abladdsub  13766  ablpncan3  13768  ablsub32  13773  ablnnncan  13774  ablsubsub23  13776  eqgabl  13781  subgabl  13783  ablnsg  13785  ablressid  13786  imasabl  13787  subrngringnsg  14082