Theorem ablcom 14196

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
ablcom	|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 14184	. 2 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
2		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
4	2, 3	cmncom 14195	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
5	1, 4	syl3an1 1311	1 |- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490  CMndccmn 14177   Abelcabl 14178

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-cmn 14179  df-abl 14180

This theorem is used by:  ablinvadd  14204  ablsub2inv  14205  ablsubadd  14206  abladdsub  14209  ablpncan3  14211  ablsub32  14216  ablnnncan  14217  ablsubsub23  14219  eqgabl  14224  subgabl  14226  ablnsg  14228  ablressid  14229  imasabl  14230  subrngringnsg  14622