Theorem ablcom 14089

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablcom	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 14077	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	cmncom 14088	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	1, 4	syl3an1 1311	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  CMndccmn 14070  Abelcabl 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-cmn 14072  df-abl 14073

This theorem is referenced by:  ablinvadd  14097  ablsub2inv  14098  ablsubadd  14099  abladdsub  14102  ablpncan3  14104  ablsub32  14109  ablnnncan  14110  ablsubsub23  14112  eqgabl  14117  subgabl  14119  ablnsg  14121  ablressid  14122  imasabl  14123  subrngringnsg  14496