Theorem ablcom 13373

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablcom	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 13361	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	cmncom 13372	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	1, 4	syl3an1 1282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  CMndccmn 13354  Abelcabl 13355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-cmn 13356  df-abl 13357

This theorem is referenced by:  ablinvadd  13380  ablsub2inv  13381  ablsubadd  13382  abladdsub  13385  ablpncan3  13387  ablsub32  13392  ablnnncan  13393  ablsubsub23  13395  eqgabl  13400  subgabl  13402  ablnsg  13404  ablressid  13405  imasabl  13406  subrngringnsg  13701