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Theorem fsumrelem 10861
Description: Lemma for fsumre 10862, fsumim 10863, and fsumcj 10864. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumrelem.3  |-  F : CC
--> CC
fsumrelem.4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fsumrelem  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, A    x, B, y   
k, F, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 10740 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
21fveq2d 5309 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
3 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `
 B ) )
42, 3eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <-> 
( F `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B ) ) )
5 sumeq1 10740 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  u  B )
65fveq2d 5309 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  u  B
) )
7 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)
86, 7eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  u  ->  (
( F `  sum_ k  e.  w  B
)  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
) )
9 sumeq1 10740 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B )
109fveq2d 5309 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `
 sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B ) )
11 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B ) )
1210, 11eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( ( F `
 sum_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) ( F `  B ) ) )
13 sumeq1 10740 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
1413fveq2d 5309 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  A  B
) )
15 sumeq1 10740 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
)
1614, 15eqeq12d 2102 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
( F `  sum_ k  e.  w  B
)  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
17 0cn 7478 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
18 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9  |-  F : CC
--> CC
1918ffvelrni 5433 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
2017, 19ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  e.  CC
2120addid1i 7622 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  +  0 )  =  ( F `  0
)
22 fvoveq1 5675 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( F `  ( 0  +  y ) ) )
23 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
2423oveq1d 5667 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  y
) ) )
2522, 24eqeq12d 2102 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( ( F `  0
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
26 oveq2 5660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  ( 0  +  0 ) )
27 00id 7621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2826, 27syl6eq 2136 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  0 )
2928fveq2d 5309 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( F ` 
0 ) )
30 fveq2 5305 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
0 ) )
3130oveq2d 5668 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  0
) ) )
3229, 31eqeq12d 2102 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  (
0  +  y ) )  =  ( ( F `  0 )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) ) ) )
33 fsumrelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
3425, 32, 33vtocl2ga 2687 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  =  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) ) )
3517, 17, 34mp2an 417 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) )
3621, 35eqtr2i 2109 . . . . 5  |-  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) )  =  ( ( F ` 
0 )  +  0 )
3720, 20, 17addcani 7662 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  0
)  +  ( F `
 0 ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  0 )  <->  ( F `  0 )  =  0 )
3836, 37mpbi 143 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  0
39 sum0 10776 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
4039fveq2i 5308 . . . 4  |-  ( F `
 sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( F `
 0 )
41 sum0 10776 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )  =  0
4238, 40, 413eqtr4i 2118 . . 3  |-  ( F `
 sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )
4342a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B ) )
44 nfv 1466 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )
45 nfcsb1v 2963 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ v  /  k ]_ B
46 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  e.  Fin )
47 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4847a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  _V )
49 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
5049eldifbd 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  -.  v  e.  u )
51 simplll 500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  ph )
52 simprl 498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  C_  A
)
5352sselda 3025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  k  e.  A )
54 fsumre.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5551, 53, 54syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  B  e.  CC )
56 csbeq1a 2941 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  v  ->  B  =  [_ v  /  k ]_ B )
5749eldifad 3010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
5854ralrimiva 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5958ad2antrr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6045nfel1 2239 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ v  /  k ]_ B  e.  CC
6156eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  v  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ v  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6260, 61rspc 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6357, 59, 62sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )
6444, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63fsumsplitsn 10800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )
6564adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  /  k ]_ B ) )
6665fveq2d 5309 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) ) )
6746, 55fsumcl 10790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  u  B  e.  CC )
6867adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  u  B  e.  CC )
6963adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  [_ v  / 
k ]_ B  e.  CC )
70 fvoveq1 5675 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( F `  ( x  +  y
) )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) ) )
71 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  sum_ k  e.  u  B )
)
7271oveq1d 5667 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B
)  +  ( F `
 y ) ) )
7370, 72eqeq12d 2102 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( ( F `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y )
)  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  y ) ) ) )
74 oveq2 5660 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( sum_ k  e.  u  B  +  y )  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )
7574fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) ) )
76 fveq2 5305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) )
7776oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  (
( F `  sum_ k  e.  u  B
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
7875, 77eqeq12d 2102 . . . . . . 7  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  (
( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) ) )
7973, 78, 33vtocl2ga 2687 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  u  B  e.  CC  /\  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  /  k ]_ B ) )  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `
 [_ v  /  k ]_ B ) ) )
8068, 69, 79syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
81 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)
8281oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) ) )
8366, 80, 823eqtrd 2124 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
84 nfcv 2228 . . . . . . 7  |-  F/_ k F
8584, 45nffv 5315 . . . . . 6  |-  F/_ k
( F `  [_ v  /  k ]_ B
)
8618a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  F : CC --> CC )
8786, 55ffvelrnd 5435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8856fveq2d 5309 . . . . . 6  |-  ( k  =  v  ->  ( F `  B )  =  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) )
8918a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  F : CC --> CC )
9089, 63ffvelrnd 5435 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( F `  [_ v  /  k ]_ B )  e.  CC )
9144, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90fsumsplitsn 10800 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) ) )
9291adantr 270 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) ( F `  B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
9383, 92eqtr4d 2123 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B ) )
9493ex 113 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `  B
) ) )
95 fsumre.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
964, 8, 12, 16, 43, 94, 95findcard2sd 6606 1  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   _Vcvv 2619   [_csb 2933    \ cdif 2996    u. cun 2997    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   -->wf 5011   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Fincfn 6455   CCcc 7346   0cc0 7348    + caddc 7351   sum_csu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsumre  10862  fsumim  10863  fsumcj  10864
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