Theorem fsumrelem 12022

Description: Lemma for fsumre 12023, fsumim 12024, and fsumcj 12025. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumre.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumrelem.3	|- F : CC --> CC
fsumrelem.4	|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	|- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, A   x, B, y   k, F, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11906	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	fveq2d 5639	. . 3 |- ( w = (/) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. (/) B ) )
3		sumeq1 11906	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) ) )
5		sumeq1 11906	. . . 4 |- ( w = u -> sum_ k e. w B = sum_ k e. u B )
6	5	fveq2d 5639	. . 3 |- ( w = u -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
7		sumeq1 11906	. . 3 |- ( w = u -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = u -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) )
9		sumeq1 11906	. . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( u u. { v } ) B )
10	9	fveq2d 5639	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) )
11		sumeq1 11906	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
12	10, 11	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
13		sumeq1 11906	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14	13	fveq2d 5639	. . 3 |- ( w = A -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. A B ) )
15		sumeq1 11906	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
16	14, 15	eqeq12d 2244	. 2 |- ( w = A -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
17		0cn 8161	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 |- F : CC --> CC
19	18	ffvelcdmi 5777	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( F ` 0 ) e. CC )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) e. CC
21	20	addridi 8311	. . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) + 0 ) = ( F ` 0 )
22		fvoveq1 6036	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( 0 + y ) ) )
23		fveq2 5635	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
24	23	oveq1d 6028	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) ) )
26		oveq2 6021	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = ( 0 + 0 ) )
27		00id 8310	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = 0 )
29	28	fveq2d 5639	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( F ` 0 ) )
30		fveq2 5635	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
31	30	oveq2d 6029	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
32	29, 31	eqeq12d 2244	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) ) )
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2870	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
35	17, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) )
36	21, 35	eqtr2i 2251	. . . . 5 |- ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 )
37	20, 20, 17	addcani 8351	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 ) <-> ( F ` 0 ) = 0 )
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = 0
39		sum0 11939	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
40	39	fveq2i 5638	. . . 4 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = ( F ` 0 )
41		sum0 11939	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( F ` B ) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2260	. . 3 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B )
43	42	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
44		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) )
45		nfcsb1v 3158	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ v / k ]_ B
46		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u e. Fin )
47		vex 2803	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. _V )
49		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
50	49	eldifbd 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> -. v e. u )
51		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ph )
52		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
53	52	sselda 3225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> k e. A )
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> B e. CC )
56		csbeq1a 3134	. . . . . . . 8 |- ( k = v -> B = [_ v / k ]_ B )
57	49	eldifad 3209	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. A )
58	54	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
60	45	nfel1 2383	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ v / k ]_ B e. CC
61	56	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = v -> ( B e. CC <-> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
62	60, 61	rspc 2902	. . . . . . . . 9 |- ( v e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11961	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
65	64	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
66	65	fveq2d 5639	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
67	46, 55	fsumcl 11951	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
68	67	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
69	63	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
70		fvoveq1 6036	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) )
71		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` x ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
72	71	oveq1d 6028	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) ) )
74		oveq2 6021	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( sum_ k e. u B + y ) = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
75	74	fveq2d 5639	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
76		fveq2 5635	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` y ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
77	76	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
78	75, 77	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) ) )
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2870	. . . . . 6 |- ( ( sum_ k e. u B e. CC /\ [_ v / k ]_ B e. CC ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
80	68, 69, 79	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
81		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
82	81	oveq1d 6028	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
83	66, 80, 82	3eqtrd 2266	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
84		nfcv 2372	. . . . . . 7 |- F/_ k F
85	84, 45	nffv 5645	. . . . . 6 |- F/_ k ( F ` [_ v / k ]_ B )
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> F : CC --> CC )
87	86, 55	ffvelcdmd 5779	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ( F ` B ) e. CC )
88	56	fveq2d 5639	. . . . . 6 |- ( k = v -> ( F ` B ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> F : CC --> CC )
90	89, 63	ffvelcdmd 5779	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` [_ v / k ]_ B ) e. CC )
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11961	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
92	91	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
93	83, 92	eqtr4d 2265	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
94	93	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
95		fsumre.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 7074	1 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   [_csb 3125   \ cdif 3195   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   0cc0 8022   + caddc 8025   sum_csu 11904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905

This theorem is referenced by:  fsumre  12023  fsumim  12024  fsumcj  12025