Theorem fsumrelem 11897

Description: Lemma for fsumre 11898, fsumim 11899, and fsumcj 11900. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumre.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumrelem.3	|- F : CC --> CC
fsumrelem.4	|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	|- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, A   x, B, y   k, F, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11781	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	fveq2d 5603	. . 3 |- ( w = (/) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. (/) B ) )
3		sumeq1 11781	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
4	2, 3	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) ) )
5		sumeq1 11781	. . . 4 |- ( w = u -> sum_ k e. w B = sum_ k e. u B )
6	5	fveq2d 5603	. . 3 |- ( w = u -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
7		sumeq1 11781	. . 3 |- ( w = u -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = u -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) )
9		sumeq1 11781	. . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( u u. { v } ) B )
10	9	fveq2d 5603	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) )
11		sumeq1 11781	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
12	10, 11	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
13		sumeq1 11781	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14	13	fveq2d 5603	. . 3 |- ( w = A -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. A B ) )
15		sumeq1 11781	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
16	14, 15	eqeq12d 2222	. 2 |- ( w = A -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
17		0cn 8099	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 |- F : CC --> CC
19	18	ffvelcdmi 5737	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( F ` 0 ) e. CC )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) e. CC
21	20	addridi 8249	. . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) + 0 ) = ( F ` 0 )
22		fvoveq1 5990	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( 0 + y ) ) )
23		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
24	23	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) ) )
26		oveq2 5975	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = ( 0 + 0 ) )
27		00id 8248	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = 0 )
29	28	fveq2d 5603	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( F ` 0 ) )
30		fveq2 5599	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
31	30	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
32	29, 31	eqeq12d 2222	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) ) )
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2846	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
35	17, 17, 34	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) )
36	21, 35	eqtr2i 2229	. . . . 5 |- ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 )
37	20, 20, 17	addcani 8289	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 ) <-> ( F ` 0 ) = 0 )
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = 0
39		sum0 11814	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
40	39	fveq2i 5602	. . . 4 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = ( F ` 0 )
41		sum0 11814	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( F ` B ) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2238	. . 3 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B )
43	42	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
44		nfv 1552	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) )
45		nfcsb1v 3134	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ v / k ]_ B
46		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u e. Fin )
47		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. _V )
49		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
50	49	eldifbd 3186	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> -. v e. u )
51		simplll 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ph )
52		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
53	52	sselda 3201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> k e. A )
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> B e. CC )
56		csbeq1a 3110	. . . . . . . 8 |- ( k = v -> B = [_ v / k ]_ B )
57	49	eldifad 3185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. A )
58	54	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
59	58	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
60	45	nfel1 2361	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ v / k ]_ B e. CC
61	56	eleq1d 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( k = v -> ( B e. CC <-> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
62	60, 61	rspc 2878	. . . . . . . . 9 |- ( v e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11836	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
65	64	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
66	65	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
67	46, 55	fsumcl 11826	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
68	67	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
69	63	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
70		fvoveq1 5990	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) )
71		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` x ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
72	71	oveq1d 5982	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) ) )
74		oveq2 5975	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( sum_ k e. u B + y ) = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
75	74	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
76		fveq2 5599	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` y ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
77	76	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
78	75, 77	eqeq12d 2222	. . . . . . 7 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) ) )
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2846	. . . . . 6 |- ( ( sum_ k e. u B e. CC /\ [_ v / k ]_ B e. CC ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
80	68, 69, 79	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
81		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
82	81	oveq1d 5982	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
83	66, 80, 82	3eqtrd 2244	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
84		nfcv 2350	. . . . . . 7 |- F/_ k F
85	84, 45	nffv 5609	. . . . . 6 |- F/_ k ( F ` [_ v / k ]_ B )
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> F : CC --> CC )
87	86, 55	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ( F ` B ) e. CC )
88	56	fveq2d 5603	. . . . . 6 |- ( k = v -> ( F ` B ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> F : CC --> CC )
90	89, 63	ffvelcdmd 5739	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` [_ v / k ]_ B ) e. CC )
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11836	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
92	91	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
93	83, 92	eqtr4d 2243	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
94	93	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
95		fsumre.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 7015	1 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   _Vcvv 2776   [_csb 3101   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   sum_csu 11779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780

This theorem is referenced by:  fsumre  11898  fsumim  11899  fsumcj  11900