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Theorem fsumrelem 11180
Description: Lemma for fsumre 11181, fsumim 11182, and fsumcj 11183. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumrelem.3  |-  F : CC
--> CC
fsumrelem.4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fsumrelem  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Distinct variable groups:    x, k, y, A    x, B, y   
k, F, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
21fveq2d 5391 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
3 sumeq1 11064 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `
 B ) )
42, 3eqeq12d 2130 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <-> 
( F `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B ) ) )
5 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  u  B )
65fveq2d 5391 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  u  B
) )
7 sumeq1 11064 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)
86, 7eqeq12d 2130 . 2  |-  ( w  =  u  ->  (
( F `  sum_ k  e.  w  B
)  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
) )
9 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B )
109fveq2d 5391 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `
 sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B ) )
11 sumeq1 11064 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B ) )
1210, 11eqeq12d 2130 . 2  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( ( F `
 sum_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) ( F `  B ) ) )
13 sumeq1 11064 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
1413fveq2d 5391 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  ( F `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( F `  sum_ k  e.  A  B
) )
15 sumeq1 11064 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
)
1614, 15eqeq12d 2130 . 2  |-  ( w  =  A  ->  (
( F `  sum_ k  e.  w  B
)  =  sum_ k  e.  w  ( F `  B )  <->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
17 0cn 7722 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
18 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9  |-  F : CC
--> CC
1918ffvelrni 5520 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
2017, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  e.  CC
2120addid1i 7868 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  +  0 )  =  ( F `  0
)
22 fvoveq1 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( F `  ( 0  +  y ) ) )
23 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
2423oveq1d 5755 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  y
) ) )
2522, 24eqeq12d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( ( F `  0
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
26 oveq2 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  ( 0  +  0 ) )
27 00id 7867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2826, 27syl6eq 2164 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  0 )
2928fveq2d 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( F ` 
0 ) )
30 fveq2 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
0 ) )
3130oveq2d 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  0
) ) )
3229, 31eqeq12d 2130 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  (
0  +  y ) )  =  ( ( F `  0 )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) ) ) )
33 fsumrelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
3425, 32, 33vtocl2ga 2726 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  =  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) ) )
3517, 17, 34mp2an 420 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) )
3621, 35eqtr2i 2137 . . . . 5  |-  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) )  =  ( ( F ` 
0 )  +  0 )
3720, 20, 17addcani 7908 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  0
)  +  ( F `
 0 ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  0 )  <->  ( F `  0 )  =  0 )
3836, 37mpbi 144 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  0
39 sum0 11097 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
4039fveq2i 5390 . . . 4  |-  ( F `
 sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( F `
 0 )
41 sum0 11097 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )  =  0
4238, 40, 413eqtr4i 2146 . . 3  |-  ( F `
 sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )
4342a1i 9 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B ) )
44 nfv 1491 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )
45 nfcsb1v 3003 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ v  /  k ]_ B
46 simplr 502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  e.  Fin )
47 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  v  e. 
_V
4847a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  _V )
49 simprr 504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  ( A  \  u ) )
5049eldifbd 3051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  -.  v  e.  u )
51 simplll 505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  ph )
52 simprl 503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  u  C_  A
)
5352sselda 3065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  k  e.  A )
54 fsumre.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
5551, 53, 54syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  B  e.  CC )
56 csbeq1a 2981 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  v  ->  B  =  [_ v  /  k ]_ B )
5749eldifad 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  v  e.  A
)
5854ralrimiva 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5958ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6045nfel1 2267 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k
[_ v  /  k ]_ B  e.  CC
6156eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  v  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ v  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6260, 61rspc 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6357, 59, 62sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )
6444, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63fsumsplitsn 11119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )
6564adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) B  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  /  k ]_ B ) )
6665fveq2d 5391 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) ) )
6746, 55fsumcl 11109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  u  B  e.  CC )
6867adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  u  B  e.  CC )
6963adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  [_ v  / 
k ]_ B  e.  CC )
70 fvoveq1 5763 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( F `  ( x  +  y
) )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) ) )
71 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  sum_ k  e.  u  B )
)
7271oveq1d 5755 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( ( F `
 x )  +  ( F `  y
) )  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B
)  +  ( F `
 y ) ) )
7370, 72eqeq12d 2130 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sum_ k  e.  u  B  ->  ( ( F `
 ( x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y )
)  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  y ) ) ) )
74 oveq2 5748 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( sum_ k  e.  u  B  +  y )  =  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )
7574fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) )  =  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) ) )
76 fveq2 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) )
7776oveq2d 5756 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  (
( F `  sum_ k  e.  u  B
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
7875, 77eqeq12d 2130 . . . . . . 7  |-  ( y  =  [_ v  / 
k ]_ B  ->  (
( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  y ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) ) )
7973, 78, 33vtocl2ga 2726 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ k  e.  u  B  e.  CC  /\  [_ v  /  k ]_ B  e.  CC )  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  /  k ]_ B ) )  =  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `
 [_ v  /  k ]_ B ) ) )
8068, 69, 79syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  ( sum_ k  e.  u  B  +  [_ v  / 
k ]_ B ) )  =  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
81 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)
8281oveq1d 5755 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( ( F `  sum_ k  e.  u  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) ) )
8366, 80, 823eqtrd 2152 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
84 nfcv 2256 . . . . . . 7  |-  F/_ k F
8584, 45nffv 5397 . . . . . 6  |-  F/_ k
( F `  [_ v  /  k ]_ B
)
8618a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  F : CC --> CC )
8786, 55ffvelrnd 5522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  k  e.  u )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8856fveq2d 5391 . . . . . 6  |-  ( k  =  v  ->  ( F `  B )  =  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) )
8918a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  F : CC --> CC )
9089, 63ffvelrnd 5522 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( F `  [_ v  /  k ]_ B )  e.  CC )
9144, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90fsumsplitsn 11119 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B ) ) )
9291adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  sum_ k  e.  ( u  u.  {
v } ) ( F `  B )  =  ( sum_ k  e.  u  ( F `  B )  +  ( F `  [_ v  /  k ]_ B
) ) )
9383, 92eqtr4d 2151 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  ( u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  /\  ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )
)  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `
 B ) )
9493ex 114 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  Fin )  /\  (
u  C_  A  /\  v  e.  ( A  \  u ) ) )  ->  ( ( F `
 sum_ k  e.  u  B )  =  sum_ k  e.  u  ( F `  B )  ->  ( F `  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) B )  =  sum_ k  e.  ( u  u.  { v } ) ( F `  B
) ) )
95 fsumre.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
964, 8, 12, 16, 43, 94, 95findcard2sd 6752 1  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   _Vcvv 2658   [_csb 2973    \ cdif 3036    u. cun 3037    C_ wss 3039   (/)c0 3331   {csn 3495   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   Fincfn 6600   CCcc 7582   0cc0 7584    + caddc 7587   sum_csu 11062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-frec 6254  df-1o 6279  df-oadd 6283  df-er 6395  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-ihash 10462  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-clim 10988  df-sumdc 11063
This theorem is referenced by:  fsumre  11181  fsumim  11182  fsumcj  11183
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