Theorem fsumrelem 12216

Description: Lemma for fsumre 12217, fsumim 12218, and fsumcj 12219. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumre.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumrelem.3	|- F : CC --> CC
fsumrelem.4	|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	|- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, A   x, B, y   k, F, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 12099	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	fveq2d 5694	. . 3 |- ( w = (/) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. (/) B ) )
3		sumeq1 12099	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) ) )
5		sumeq1 12099	. . . 4 |- ( w = u -> sum_ k e. w B = sum_ k e. u B )
6	5	fveq2d 5694	. . 3 |- ( w = u -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
7		sumeq1 12099	. . 3 |- ( w = u -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = u -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) )
9		sumeq1 12099	. . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( u u. { v } ) B )
10	9	fveq2d 5694	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) )
11		sumeq1 12099	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
13		sumeq1 12099	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14	13	fveq2d 5694	. . 3 |- ( w = A -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. A B ) )
15		sumeq1 12099	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
16	14, 15	eqeq12d 2253	. 2 |- ( w = A -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
17		0cn 8308	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 |- F : CC --> CC
19	18	ffvelcdmi 5833	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( F ` 0 ) e. CC )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) e. CC
21	20	addridi 8458	. . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) + 0 ) = ( F ` 0 )
22		fvoveq1 6098	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( 0 + y ) ) )
23		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
24	23	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) ) )
26		oveq2 6083	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = ( 0 + 0 ) )
27		00id 8457	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = 0 )
29	28	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( F ` 0 ) )
30		fveq2 5690	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
31	30	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
32	29, 31	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) ) )
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2891	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
35	17, 17, 34	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) )
36	21, 35	eqtr2i 2260	. . . . 5 |- ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 )
37	20, 20, 17	addcani 8498	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 ) <-> ( F ` 0 ) = 0 )
38	36, 37	mpbi 145	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = 0
39		sum0 12133	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
40	39	fveq2i 5693	. . . 4 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = ( F ` 0 )
41		sum0 12133	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( F ` B ) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2269	. . 3 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B )
43	42	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
44		nfv 1581	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) )
45		nfcsb1v 3180	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ v / k ]_ B
46		simplr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u e. Fin )
47		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. _V )
49		simprr 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
50	49	eldifbd 3232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> -. v e. u )
51		simplll 539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ph )
52		simprl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
53	52	sselda 3248	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> k e. A )
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
55	51, 53, 54	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> B e. CC )
56		csbeq1a 3156	. . . . . . . 8 |- ( k = v -> B = [_ v / k ]_ B )
57	49	eldifad 3231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. A )
58	54	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
59	58	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
60	45	nfel1 2403	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ v / k ]_ B e. CC
61	56	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( k = v -> ( B e. CC <-> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
62	60, 61	rspc 2923	. . . . . . . . 9 |- ( v e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 12155	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
65	64	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
66	65	fveq2d 5694	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
67	46, 55	fsumcl 12145	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
68	67	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
69	63	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
70		fvoveq1 6098	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) )
71		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` x ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
72	71	oveq1d 6090	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) ) )
74		oveq2 6083	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( sum_ k e. u B + y ) = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
75	74	fveq2d 5694	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
76		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` y ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
77	76	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
78	75, 77	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) ) )
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2891	. . . . . 6 |- ( ( sum_ k e. u B e. CC /\ [_ v / k ]_ B e. CC ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
80	68, 69, 79	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
81		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
82	81	oveq1d 6090	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
83	66, 80, 82	3eqtrd 2275	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
84		nfcv 2392	. . . . . . 7 |- F/_ k F
85	84, 45	nffv 5700	. . . . . 6 |- F/_ k ( F ` [_ v / k ]_ B )
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> F : CC --> CC )
87	86, 55	ffvelcdmd 5835	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ( F ` B ) e. CC )
88	56	fveq2d 5694	. . . . . 6 |- ( k = v -> ( F ` B ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> F : CC --> CC )
90	89, 63	ffvelcdmd 5835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` [_ v / k ]_ B ) e. CC )
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 12155	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
92	91	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
93	83, 92	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
94	93	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
95		fsumre.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 7186	1 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   sum_csu 12097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098

This theorem is referenced by:  fsumre  12217  fsumim  12218  fsumcj  12219