Theorem fsumrelem 11438

Description: Lemma for fsumre 11439, fsumim 11440, and fsumcj 11441. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumre.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumre.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fsumrelem.3	|- F : CC --> CC
fsumrelem.4	|- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumrelem	|- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, k, y, A   x, B, y   k, F, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrelem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 11322	. . . 4 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
2	1	fveq2d 5503	. . 3 |- ( w = (/) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. (/) B ) )
3		sumeq1 11322	. . 3 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
4	2, 3	eqeq12d 2186	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) ) )
5		sumeq1 11322	. . . 4 |- ( w = u -> sum_ k e. w B = sum_ k e. u B )
6	5	fveq2d 5503	. . 3 |- ( w = u -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
7		sumeq1 11322	. . 3 |- ( w = u -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
8	6, 7	eqeq12d 2186	. 2 |- ( w = u -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) )
9		sumeq1 11322	. . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( u u. { v } ) B )
10	9	fveq2d 5503	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) )
11		sumeq1 11322	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
12	10, 11	eqeq12d 2186	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
13		sumeq1 11322	. . . 4 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
14	13	fveq2d 5503	. . 3 |- ( w = A -> ( F ` sum_ k e. w B ) = ( F ` sum_ k e. A B ) )
15		sumeq1 11322	. . 3 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( F ` B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )
16	14, 15	eqeq12d 2186	. 2 |- ( w = A -> ( ( F ` sum_ k e. w B ) = sum_ k e. w ( F ` B ) <-> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) ) )
17		0cn 7916	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
18		fsumrelem.3	. . . . . . . . 9 |- F : CC --> CC
19	18	ffvelcdmi 5634	. . . . . . . 8 |- ( 0 e. CC -> ( F ` 0 ) e. CC )
20	17, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 0 ) e. CC
21	20	addid1i 8065	. . . . . 6 |- ( ( F ` 0 ) + 0 ) = ( F ` 0 )
22		fvoveq1 5880	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( 0 + y ) ) )
23		fveq2 5499	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( F ` x ) = ( F ` 0 ) )
24	23	oveq1d 5872	. . . . . . . . 9 |- ( x = 0 -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) )
25	22, 24	eqeq12d 2186	. . . . . . . 8 |- ( x = 0 -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) ) )
26		oveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = ( 0 + 0 ) )
27		00id 8064	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 0 ) = 0
28	26, 27	eqtrdi 2220	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( 0 + y ) = 0 )
29	28	fveq2d 5503	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( F ` ( 0 + y ) ) = ( F ` 0 ) )
30		fveq2 5499	. . . . . . . . . 10 |- ( y = 0 -> ( F ` y ) = ( F ` 0 ) )
31	30	oveq2d 5873	. . . . . . . . 9 |- ( y = 0 -> ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
32	29, 31	eqeq12d 2186	. . . . . . . 8 |- ( y = 0 -> ( ( F ` ( 0 + y ) ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) ) )
33		fsumrelem.4	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) )
34	25, 32, 33	vtocl2ga 2799	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) )
35	17, 17, 34	mp2an 424	. . . . . 6 |- ( F ` 0 ) = ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) )
36	21, 35	eqtr2i 2193	. . . . 5 |- ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 )
37	20, 20, 17	addcani 8105	. . . . 5 |- ( ( ( F ` 0 ) + ( F ` 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) + 0 ) <-> ( F ` 0 ) = 0 )
38	36, 37	mpbi 144	. . . 4 |- ( F ` 0 ) = 0
39		sum0 11355	. . . . 5 |- sum_ k e. (/) B = 0
40	39	fveq2i 5502	. . . 4 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = ( F ` 0 )
41		sum0 11355	. . . 4 |- sum_ k e. (/) ( F ` B ) = 0
42	38, 40, 41	3eqtr4i 2202	. . 3 |- ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B )
43	42	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. (/) B ) = sum_ k e. (/) ( F ` B ) )
44		nfv 1522	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) )
45		nfcsb1v 3083	. . . . . . . 8 |- F/_ k [_ v / k ]_ B
46		simplr 526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u e. Fin )
47		vex 2734	. . . . . . . . 9 |- v e. _V
48	47	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. _V )
49		simprr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. ( A \ u ) )
50	49	eldifbd 3134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> -. v e. u )
51		simplll 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ph )
52		simprl 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> u C_ A )
53	52	sselda 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> k e. A )
54		fsumre.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
55	51, 53, 54	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> B e. CC )
56		csbeq1a 3059	. . . . . . . 8 |- ( k = v -> B = [_ v / k ]_ B )
57	49	eldifad 3133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> v e. A )
58	54	ralrimiva 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
59	58	ad2antrr 486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> A. k e. A B e. CC )
60	45	nfel1 2324	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ v / k ]_ B e. CC
61	56	eleq1d 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( k = v -> ( B e. CC <-> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
62	60, 61	rspc 2829	. . . . . . . . 9 |- ( v e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ v / k ]_ B e. CC ) )
63	57, 59, 62	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
64	44, 45, 46, 48, 50, 55, 56, 63	fsumsplitsn 11377	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
65	64	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) B = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
66	65	fveq2d 5503	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
67	46, 55	fsumcl 11367	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
68	67	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. u B e. CC )
69	63	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> [_ v / k ]_ B e. CC )
70		fvoveq1 5880	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` ( x + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) )
71		fveq2 5499	. . . . . . . . 9 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( F ` x ) = ( F ` sum_ k e. u B ) )
72	71	oveq1d 5872	. . . . . . . 8 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) )
73	70, 72	eqeq12d 2186	. . . . . . 7 |- ( x = sum_ k e. u B -> ( ( F ` ( x + y ) ) = ( ( F ` x ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) ) )
74		oveq2 5865	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( sum_ k e. u B + y ) = ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) )
75	74	fveq2d 5503	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) )
76		fveq2 5499	. . . . . . . . 9 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( F ` y ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
77	76	oveq2d 5873	. . . . . . . 8 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
78	75, 77	eqeq12d 2186	. . . . . . 7 |- ( y = [_ v / k ]_ B -> ( ( F ` ( sum_ k e. u B + y ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` y ) ) <-> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) ) )
79	73, 78, 33	vtocl2ga 2799	. . . . . 6 |- ( ( sum_ k e. u B e. CC /\ [_ v / k ]_ B e. CC ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
80	68, 69, 79	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` ( sum_ k e. u B + [_ v / k ]_ B ) ) = ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
81		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) )
82	81	oveq1d 5872	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
83	66, 80, 82	3eqtrd 2208	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
84		nfcv 2313	. . . . . . 7 |- F/_ k F
85	84, 45	nffv 5509	. . . . . 6 |- F/_ k ( F ` [_ v / k ]_ B )
86	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> F : CC --> CC )
87	86, 55	ffvelrnd 5636	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ k e. u ) -> ( F ` B ) e. CC )
88	56	fveq2d 5503	. . . . . 6 |- ( k = v -> ( F ` B ) = ( F ` [_ v / k ]_ B ) )
89	18	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> F : CC --> CC )
90	89, 63	ffvelrnd 5636	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( F ` [_ v / k ]_ B ) e. CC )
91	44, 85, 46, 48, 50, 87, 88, 90	fsumsplitsn 11377	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
92	91	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) = ( sum_ k e. u ( F ` B ) + ( F ` [_ v / k ]_ B ) ) )
93	83, 92	eqtr4d 2207	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) )
94	93	ex 114	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> ( ( F ` sum_ k e. u B ) = sum_ k e. u ( F ` B ) -> ( F ` sum_ k e. ( u u. { v } ) B ) = sum_ k e. ( u u. { v } ) ( F ` B ) ) )
95		fsumre.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
96	4, 8, 12, 16, 43, 94, 95	findcard2sd 6874	1 |- ( ph -> ( F ` sum_ k e. A B ) = sum_ k e. A ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   _Vcvv 2731   [_csb 3050   \ cdif 3119   u. cun 3120   C_ wss 3122   (/)c0 3415   {csn 3584   -->wf 5196   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   Fincfn 6722   CCcc 7776   0cc0 7778   + caddc 7781   sum_csu 11320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-nul 4116  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-iinf 4573  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-mulrcl 7877  ax-addcom 7878  ax-mulcom 7879  ax-addass 7880  ax-mulass 7881  ax-distr 7882  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-1rid 7885  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-precex 7888  ax-cnre 7889  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltwlin 7891  ax-pre-lttrn 7892  ax-pre-apti 7893  ax-pre-ltadd 7894  ax-pre-mulgt0 7895  ax-pre-mulext 7896  ax-arch 7897  ax-caucvg 7898

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 831  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-if 3528  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4089  df-id 4279  df-po 4282  df-iso 4283  df-iord 4352  df-on 4354  df-ilim 4355  df-suc 4357  df-iom 4576  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-recs 6288  df-irdg 6353  df-frec 6374  df-1o 6399  df-oadd 6403  df-er 6517  df-en 6723  df-dom 6724  df-fin 6725  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-ltxr 7963  df-le 7964  df-sub 8096  df-neg 8097  df-reap 8498  df-ap 8505  df-div 8594  df-inn 8883  df-2 8941  df-3 8942  df-4 8943  df-n0 9140  df-z 9217  df-uz 9492  df-q 9583  df-rp 9615  df-fz 9970  df-fzo 10103  df-seqfrec 10406  df-exp 10480  df-ihash 10714  df-cj 10810  df-re 10811  df-im 10812  df-rsqrt 10966  df-abs 10967  df-clim 11246  df-sumdc 11321

This theorem is referenced by:  fsumre  11439  fsumim  11440  fsumcj  11441