Theorem addcani 7718

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
addcani.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcani.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcani	⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		addcani.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcani.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		addcan 7716	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1274	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  ℂcc 7402   + caddc 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669

This theorem is referenced by:  negdii  7820  fsumrelem  10919