ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcani GIF version

Theorem addcani 7951
Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
addcani.1 𝐴 ∈ ℂ
addcani.2 𝐵 ∈ ℂ
addcani.3 𝐶 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
addcani ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcani
StepHypRef Expression
1 addcani.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 addcani.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 addcani.3 . 2 𝐶 ∈ ℂ
4 addcan 7949 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
51, 2, 3, 4mp3an 1315 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7625   + caddc 7630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777
This theorem is referenced by:  negdii  8053  fsumrelem  11247
  Copyright terms: Public domain W3C validator