Theorem addcani 8471

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
addcani.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcani.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcani	⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		addcani.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcani.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		addcan 8469	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1374	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   + caddc 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061

This theorem is referenced by:  negdii  8573  fsumrelem  12182  karatsuba  13153