Theorem addcani 8141

Description: Cancellation law for addition. Theorem I.1 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcani.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
addcani.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
addcani.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
addcani	⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem addcani

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcani.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		addcani.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		addcani.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		addcan 8139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1337	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811   + caddc 7816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880

This theorem is referenced by:  negdii  8243  fsumrelem  11481