Theorem addneintrd 7943

Description: Introducing a term on the left-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcanad 7941. Consequence of addcand 7939. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcand.1	|- ( ph -> A e. CC )
addcand.2	|- ( ph -> B e. CC )
addcand.3	|- ( ph -> C e. CC )
addneintrd.4	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
addneintrd	|- ( ph -> ( A + B ) =/= ( A + C ) )

Proof of Theorem addneintrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addneintrd.4	. 2 |- ( ph -> B =/= C )
2		addcand.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		addcand.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4		addcand.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
5	2, 3, 4	addcand 7939	. . 3 |- ( ph -> ( ( A + B ) = ( A + C ) <-> B = C ) )
6	5	necon3bid 2347	. 2 |- ( ph -> ( ( A + B ) =/= ( A + C ) <-> B =/= C ) )
7	1, 6	mpbird 166	1 |- ( ph -> ( A + B ) =/= ( A + C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   =/= wne 2306  (class class class)co 5767   CCcc 7611   + caddc 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by: (None)