ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addneintrd GIF version

Theorem addneintrd 7918
Description: Introducing a term on the left-hand side of a sum in a negated equality. Contrapositive of addcanad 7916. Consequence of addcand 7914. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
addcand.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
addcand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
addneintrd.4 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
addneintrd (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))

Proof of Theorem addneintrd
StepHypRef Expression
1 addneintrd.4 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
2 addcand.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 addcand.2 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 addcand.3 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
52, 3, 4addcand 7914 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
65necon3bid 2326 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶) ↔ 𝐵𝐶))
71, 6mpbird 166 1 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐴 + 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  wne 2285  (class class class)co 5742  cc 7586   + caddc 7591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-iota 5058  df-fv 5101  df-ov 5745
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator