txbas - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem txbas 14494

Description: The set of Cartesian products of elements from two topological bases is a basis. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
txval.1

**Assertion**
Ref	Expression
txbas	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem txbas Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . . . . . 8
2		xpeq1 4677	. . . . . . . . . 10
3		xpeq2 4678	. . . . . . . . . 10
4	2, 3	cbvmpov 6002	. . . . . . . . 9
5	4	rnmpo 6033	. . . . . . . 8
6	1, 5	eqtri 2217	. . . . . . 7
7	6	abeq2i 2307	. . . . . 6
8		xpeq1 4677	. . . . . . . . . 10
9		xpeq2 4678	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	cbvmpov 6002	. . . . . . . . 9
11	10	rnmpo 6033	. . . . . . . 8
12	1, 11	eqtri 2217	. . . . . . 7
13	12	abeq2i 2307	. . . . . 6
14	7, 13	anbi12i 460	. . . . 5 $/\$ $/\$
15		reeanv 2667	. . . . 5 $/\$ $/\$
16	14, 15	bitr4i 187	. . . 4 $/\$ $/\$
17		reeanv 2667	. . . . . 6 $/\$ $/\$
18		basis2 14284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	exp43 372	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
20	19	imp42 354	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		basis2 14284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	21	exp43 372	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
23	22	imp42 354	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24		reeanv 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		opelxpi 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
26		xpss12 4770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
27	25, 26	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
28	27	an4s 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
29	28	reximi 2594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	29	reximi 2594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	24, 30	sylbir 135	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	20, 23, 31	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	32	an4s 588	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	33	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
37	36	2rexbidv 2522	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
38	37	ralxp 4809	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
39	34, 38	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	an4s 588	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41	40	anassrs 400	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		ineq12 3359	. . . . . . . . . 10 $/\$
43		inxp 4800	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	eqtrdi 2245	. . . . . . . . 9 $/\$
45	44	sseq2d 3213	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
46	45	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
48	1	rexeqi 2698	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
49		1stexg 6225	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	49	elv 2767	. . . . . . . . . . . . . 14
51		2ndexg 6226	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	elv 2767	. . . . . . . . . . . . . 14
53	50, 52	xpex 4778	. . . . . . . . . . . . 13
54	53	rgenw 2552	. . . . . . . . . . . 12
55		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
56		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
57	55, 56	op1std 6206	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58	55, 56	op2ndd 6207	. . . . . . . . . . . . . . . 16
59	57, 58	xpeq12d 4688	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	59	mpompt 6014	. . . . . . . . . . . . . 14
61	60	eqcomi 2200	. . . . . . . . . . . . 13
62		eleq2 2260	. . . . . . . . . . . . . 14
63		sseq1 3206	. . . . . . . . . . . . . 14
64	62, 63	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	61, 64	rexrnmpt 5705	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	54, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
67	59	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . 13
68	59	sseq1d 3212	. . . . . . . . . . . . 13
69	67, 68	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
70	69	rexxp 4810	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
71	48, 66, 70	3bitri 206	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
72	47, 71	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
73	44, 72	raleqbidv 2709	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
74	41, 73	syl5ibrcom 157	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
75	74	rexlimdvva 2622	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	17, 75	biimtrrid 153	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	76	rexlimdvva 2622	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
78	16, 77	biimtrid 152	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
79	78	ralrimivv 2578	. 2 $/\$ $/\$
80	1	txbasex 14493	. . 3 $/\$
81		isbasis2g 14281	. . 3 $/\$
82	80, 81	syl 14	. 2 $/\$ $/\$
83	79, 82	mpbird 167	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1364

wcel 2167

cab 2182

wral 2475

wrex 2476

cvv 2763

cin 3156

wss 3157

cop 3625

cmpt 4094

cxp 4661

crn 4664

cfv 5258

cmpo 5924

c1st 6196

c2nd 6197

ctb 14278

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ral 2480 df-rex 2481 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-fo 5264 df-fv 5266 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-bases 14279

This theorem is referenced by: txtop 14496

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