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Theorem txbas 13011
Description: The set of Cartesian products of elements from two topological bases is a basis. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbas  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Distinct variable groups:    x, y, R   
x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem txbas
Dummy variables  a  b  c  d  p  t  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . . . . . 8  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 xpeq1 4623 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  X.  y )  =  ( a  X.  y ) )
3 xpeq2 4624 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  (
a  X.  y )  =  ( a  X.  b ) )
42, 3cbvmpov 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( a  e.  R ,  b  e.  S  |->  ( a  X.  b ) )
54rnmpo 5960 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
61, 5eqtri 2191 . . . . . . 7  |-  B  =  { u  |  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b ) }
76abeq2i 2281 . . . . . 6  |-  ( u  e.  B  <->  E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b
) )
8 xpeq1 4623 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  c  ->  (
x  X.  y )  =  ( c  X.  y ) )
9 xpeq2 4624 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  d  ->  (
c  X.  y )  =  ( c  X.  d ) )
108, 9cbvmpov 5930 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( c  e.  R ,  d  e.  S  |->  ( c  X.  d ) )
1110rnmpo 5960 . . . . . . . 8  |-  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
121, 11eqtri 2191 . . . . . . 7  |-  B  =  { v  |  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) }
1312abeq2i 2281 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  <->  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d
) )
147, 13anbi12i 457 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
15 reeanv 2639 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. a  e.  R  E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. c  e.  R  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
1614, 15bitr4i 186 . . . 4  |-  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B )  <->  E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
17 reeanv 2639 . . . . . 6  |-  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  <->  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) ) )
18 basis2 12799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  a  e.  R )  /\  ( c  e.  R  /\  u  e.  (
a  i^i  c )
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
1918exp43 370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( R  e.  TopBases  ->  ( a  e.  R  ->  ( c  e.  R  ->  ( u  e.  ( a  i^i  c )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) ) ) ) )
2019imp42 352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c
) )  ->  E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c
) ) )
21 basis2 12799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  b  e.  S )  /\  ( d  e.  S  /\  v  e.  (
b  i^i  d )
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
2221exp43 370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  e.  TopBases  ->  ( b  e.  S  ->  ( d  e.  S  ->  ( v  e.  ( b  i^i  d )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) ) ) ) )
2322imp42 352 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  e.  TopBases  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d
) )  ->  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )
24 reeanv 2639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( E. x  e.  R  (
u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d ) ) ) )
25 opelxpi 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y )  -> 
<. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y
) )
26 xpss12 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  C_  ( a  i^i  c )  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) )  ->  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )
2725, 26anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  v  e.  y
)  /\  ( x  C_  ( a  i^i  c
)  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2827an4s 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  -> 
( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
2928reximi 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  S  ( ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3029reximi 2567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  (
( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3124, 30sylbir 134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( E. x  e.  R  ( u  e.  x  /\  x  C_  ( a  i^i  c ) )  /\  E. y  e.  S  ( v  e.  y  /\  y  C_  ( b  i^i  d
) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3220, 23, 31syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  u  e.  ( a  i^i  c ) )  /\  ( ( S  e.  TopBases 
/\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3332an4s 583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  /\  (
u  e.  ( a  i^i  c )  /\  v  e.  ( b  i^i  d ) ) )  ->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3433ralrimivva 2552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. u  e.  ( a  i^i  c
) A. v  e.  ( b  i^i  d
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
35 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  <->  <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y ) ) )
3635anbi1d 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( p  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( <. u ,  v >.  e.  ( x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
37362rexbidv 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  <. u ,  v
>.  ->  ( E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) ) )
3837ralxp 4752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. p  e.  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) )  <->  A. u  e.  ( a  i^i  c ) A. v  e.  ( b  i^i  d ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( <. u ,  v
>.  e.  ( x  X.  y )  /\  (
x  X.  y ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
3934, 38sylibr 133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R
) )  /\  ( S  e.  TopBases  /\  (
b  e.  S  /\  d  e.  S )
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4039an4s 583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
( a  e.  R  /\  c  e.  R
)  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S ) ) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  (
x  X.  y )  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
4140anassrs 398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
42 ineq12 3323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) ) )
43 inxp 4743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  X.  b )  i^i  ( c  X.  d ) )  =  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)
4442, 43eqtrdi 2219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( u  i^i  v
)  =  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d ) ) )
4544sseq2d 3177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( t  C_  (
u  i^i  v )  <->  t 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
4645anbi2d 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
4746rexbidv 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
481rexeqi 2670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. t  e.  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
49 1stexg 6143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( 1st `  z )  e. 
_V )
5049elv 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  z )  e.  _V
51 2ndexg 6144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( 2nd `  z )  e. 
_V )
5251elv 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  z )  e.  _V
5350, 52xpex 4724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V
5453rgenw 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. z  e.  ( R  X.  S
) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  e.  _V
55 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
56 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5755, 56op1std 6124 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5855, 56op2ndd 6125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5957, 58xpeq12d 4634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  =  ( x  X.  y ) )
6059mpompt 5942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( R  X.  S )  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) ) )  =  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y
) )
6160eqcomi 2174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )  =  ( z  e.  ( R  X.  S
)  |->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) )
62 eleq2 2234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( p  e.  t  <->  p  e.  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) ) ) )
63 sseq1 3170 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
)  <->  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6462, 63anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  ->  ( ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6561, 64rexrnmpt 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ( R  X.  S ) ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  e.  _V  ->  ( E. t  e. 
ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) ) )
6654, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. t  e.  ran  (
x  e.  R , 
y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) ) ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. z  e.  ( R  X.  S
) ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) ) )
6759eleq2d 2240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( ( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  <->  p  e.  ( x  X.  y
) ) )
6859sseq1d 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) )  <-> 
( x  X.  y
)  C_  ( (
a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) ) )
6967, 68anbi12d 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) )  /\  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z ) ) 
C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7069rexxp 4753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( R  X.  S ) ( p  e.  ( ( 1st `  z )  X.  ( 2nd `  z
) )  /\  (
( 1st `  z
)  X.  ( 2nd `  z ) )  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
7148, 66, 703bitri 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( ( a  i^i  c )  X.  ( b  i^i  d
) ) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) )
7247, 71bitrdi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7344, 72raleqbidv 2677 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  -> 
( A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) )  <->  A. p  e.  ( ( a  i^i  c )  X.  (
b  i^i  d )
) E. x  e.  R  E. y  e.  S  ( p  e.  ( x  X.  y
)  /\  ( x  X.  y )  C_  (
( a  i^i  c
)  X.  ( b  i^i  d ) ) ) ) )
7441, 73syl5ibrcom 156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( R  e.  TopBases 
/\  S  e.  TopBases )  /\  ( a  e.  R  /\  c  e.  R ) )  /\  ( b  e.  S  /\  d  e.  S
) )  ->  (
( u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
7574rexlimdvva 2595 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( E. b  e.  S  E. d  e.  S  (
u  =  ( a  X.  b )  /\  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7617, 75syl5bir 152 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e.  TopBases )  /\  (
a  e.  R  /\  c  e.  R )
)  ->  ( ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7776rexlimdvva 2595 . . . 4  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( E. a  e.  R  E. c  e.  R  ( E. b  e.  S  u  =  ( a  X.  b )  /\  E. d  e.  S  v  =  ( c  X.  d ) )  ->  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7816, 77syl5bi 151 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( (
u  e.  B  /\  v  e.  B )  ->  A. p  e.  ( u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
7978ralrimivv 2551 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  ( u  i^i  v
) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v
) ) )
801txbasex 13010 . . 3  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  _V )
81 isbasis2g 12796 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8280, 81syl 14 . 2  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  ( B  e. 
TopBases  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  A. p  e.  (
u  i^i  v ) E. t  e.  B  ( p  e.  t  /\  t  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
8379, 82mpbird 166 1  |-  ( ( R  e.  TopBases  /\  S  e. 
TopBases )  ->  B  e.  TopBases )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730    i^i cin 3120    C_ wss 3121   <.cop 3584    |-> cmpt 4048    X. cxp 4607   ran crn 4610   ` cfv 5196    e. cmpo 5852   1stc1st 6114   2ndc2nd 6115   TopBasesctb 12793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fo 5202  df-fv 5204  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-bases 12794
This theorem is referenced by:  txtop  13013
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