Theorem sseq2 3272

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	|- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3255	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A C_ B -> C C_ B ) )
2	1	com12 30	. . 3 |- ( A C_ B -> ( C C_ A -> C C_ B ) )
3		sstr2 3255	. . . 4 |- ( C C_ B -> ( B C_ A -> C C_ A ) )
4	3	com12 30	. . 3 |- ( B C_ A -> ( C C_ B -> C C_ A ) )
5	2, 4	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
6		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
7		dfbi2 392	. 2 |- ( ( C C_ A <-> C C_ B ) <-> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12  3273  sseq2i  3275  sseq2d  3278  sseqtrid  3298  nssne1  3306  sseq0b  3564  un00  3567  pweq  3691  ssintab  3987  ssintub  3988  intmin  3990  treq  4235  ssexg  4272  exmidundif  4343  frforeq3  4492  frirrg  4495  iunpw  4626  ordtri2orexmid  4670  ontr2exmid  4672  onsucsssucexmid  4674  ordtri2or2exmid  4718  ontri2orexmidim  4719  iotaexab  5356  fununi  5449  funcnvuni  5450  feq3  5518  ssimaexg  5765  nnawordex  6802  ereq1  6814  xpider  6880  domeng  7036  ssfiexmid  7178  ssfiexmidt  7180  fisseneq  7242  sbthlemi4  7277  sbthlemi5  7278  nninfninc  7464  acfun  7564  onntri45  7601  ccfunen  7631  fprodssdc  12376  lspf  14810  lspval  14811  aspval  15099  asplss  15100  aspsubrg  15102  basis2  15240  eltg2  15245  clsval  15303  ntrcls0  15323  isnei  15336  neiint  15337  neipsm  15346  opnneissb  15347  opnssneib  15348  innei  15355  icnpimaex  15403  cnptoprest2  15432  neitx  15460  txcnp  15463  blssps  15619  blss  15620  metss  15686  metrest  15698  metcnp3  15703  upgredgpr  16556  wlkvtxiedg  16752  wlkvtxiedgg  16753  wlkres  16786  bdssexg  17096  bj-nntrans  17143  bj-omtrans  17148