Theorem sseq2 3272

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	|- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3255	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A C_ B -> C C_ B ) )
2	1	com12 30	. . 3 |- ( A C_ B -> ( C C_ A -> C C_ B ) )
3		sstr2 3255	. . . 4 |- ( C C_ B -> ( B C_ A -> C C_ A ) )
4	3	com12 30	. . 3 |- ( B C_ A -> ( C C_ B -> C C_ A ) )
5	2, 4	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
6		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
7		dfbi2 392	. 2 |- ( ( C C_ A <-> C C_ B ) <-> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseq12  3273  sseq2i  3275  sseq2d  3278  sseqtrid  3298  nssne1  3306  sseq0b  3564  un00  3567  pweq  3691  ssintab  3987  ssintub  3988  intmin  3990  treq  4237  ssexg  4274  exmidundif  4345  frforeq3  4494  frirrg  4497  iunpw  4628  ordtri2orexmid  4672  ontr2exmid  4674  onsucsssucexmid  4676  ordtri2or2exmid  4720  ontri2orexmidim  4721  iotaexab  5359  fununi  5452  funcnvuni  5453  feq3  5521  ssimaexg  5768  nnawordex  6806  ereq1  6818  xpider  6884  domeng  7040  ssfiexmid  7182  ssfiexmidt  7184  fisseneq  7246  sbthlemi4  7282  sbthlemi5  7283  nninfninc  7469  acfun  7569  onntri45  7606  ccfunen  7636  fprodssdc  12382  lspf  14835  lspval  14836  aspval  15124  asplss  15125  aspsubrg  15127  basis2  15274  eltg2  15279  clsval  15337  ntrcls0  15357  isnei  15370  neiint  15371  neipsm  15380  opnneissb  15381  opnssneib  15382  innei  15389  icnpimaex  15437  cnptoprest2  15466  neitx  15494  txcnp  15497  blssps  15653  blss  15654  metss  15720  metrest  15732  metcnp3  15737  upgredgpr  16595  wlkvtxiedg  16791  wlkvtxiedgg  16792  wlkres  16825  bdssexg  17135  bj-nntrans  17182  bj-omtrans  17187