Theorem sseq2 3248

Description: Equality theorem for the subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
sseq2	|- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

Proof of Theorem sseq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3231	. . . 4 |- ( C C_ A -> ( A C_ B -> C C_ B ) )
2	1	com12 30	. . 3 |- ( A C_ B -> ( C C_ A -> C C_ B ) )
3		sstr2 3231	. . . 4 |- ( C C_ B -> ( B C_ A -> C C_ A ) )
4	3	com12 30	. . 3 |- ( B C_ A -> ( C C_ B -> C C_ A ) )
5	2, 4	anim12i 338	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B C_ A ) -> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
6		eqss 3239	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
7		dfbi2 388	. 2 |- ( ( C C_ A <-> C C_ B ) <-> ( ( C C_ A -> C C_ B ) /\ ( C C_ B -> C C_ A ) ) )
8	5, 6, 7	3imtr4i 201	1 |- ( A = B -> ( C C_ A <-> C C_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   C_ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  sseq12  3249  sseq2i  3251  sseq2d  3254  sseqtrid  3274  nssne1  3282  sseq0  3533  un00  3538  pweq  3652  ssintab  3940  ssintub  3941  intmin  3943  treq  4188  ssexg  4223  exmidundif  4290  frforeq3  4438  frirrg  4441  iunpw  4571  ordtri2orexmid  4615  ontr2exmid  4617  onsucsssucexmid  4619  ordtri2or2exmid  4663  ontri2orexmidim  4664  iotaexab  5297  fununi  5389  funcnvuni  5390  feq3  5458  ssimaexg  5696  nnawordex  6675  ereq1  6687  xpider  6753  domeng  6901  ssfiexmid  7038  fisseneq  7096  sbthlemi4  7127  sbthlemi5  7128  nninfninc  7290  acfun  7389  onntri45  7426  ccfunen  7450  fprodssdc  12101  lspf  14353  lspval  14354  basis2  14722  eltg2  14727  clsval  14785  ntrcls0  14805  isnei  14818  neiint  14819  neipsm  14828  opnneissb  14829  opnssneib  14830  innei  14837  icnpimaex  14885  cnptoprest2  14914  neitx  14942  txcnp  14945  blssps  15101  blss  15102  metss  15168  metrest  15180  metcnp3  15185  upgredgpr  15947  wlkvtxiedg  16056  wlkvtxiedgg  16057  bdssexg  16267  bj-nntrans  16314  bj-omtrans  16319