Theorem bdcriota 16246

Description: A class given by a restricted definition binder is bounded, under the given hypotheses. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bdcriota.bd	|- BOUNDED ph
bdcriota.ex	|- E! x e. y ph

Assertion

Ref	Expression
bdcriota	|- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bdcriota

Dummy variables z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcriota.bd	. . . . . . . . 9 |- BOUNDED ph
2	1	ax-bdsb 16185	. . . . . . . 8 |- BOUNDED [ z / x ] ph
3		ax-bdel 16184	. . . . . . . 8 |- BOUNDED t e. z
4	2, 3	ax-bdim 16177	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( [ z / x ] ph -> t e. z )
5	4	ax-bdal 16181	. . . . . 6 |- BOUNDED A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z )
6		df-ral 2513	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
7		impexp 263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
8	7	bicomi 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
9	8	albii 1516	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
10	6, 9	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
11		sban 2006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) )
12		clelsb1 2334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / x ] x e. y <-> z e. y )
13	12	anbi1i 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
14	11, 13	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
15	14	bicomi 132	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
16	15	imbi1i 238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
17	16	albii 1516	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
18	10, 17	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
19		df-clab 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
20	19	bicomi 132	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } )
21	20	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
22	21	albii 1516	. . . . . . 7 |- ( A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
23	18, 22	bitri 184	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
24	5, 23	bd0 16187	. . . . 5 |- BOUNDED A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z )
25	24	bdcab 16212	. . . 4 |- BOUNDED { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
26		df-int 3924	. . . 4 |- |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } = { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
27	25, 26	bdceqir 16207	. . 3 |- BOUNDED |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
28		bdcriota.ex	. . . . 5 |- E! x e. y ph
29		df-reu 2515	. . . . 5 |- ( E! x e. y ph <-> E! x ( x e. y /\ ph ) )
30	28, 29	mpbi 145	. . . 4 |- E! x ( x e. y /\ ph )
31		iotaint 5292	. . . 4 |- ( E! x ( x e. y /\ ph ) -> ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
33	27, 32	bdceqir 16207	. 2 |- BOUNDED ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
34		df-riota 5954	. 2 |- ( iota_ x e. y ph ) = ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
35	33, 34	bdceqir 16207	1 |- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1393   = wceq 1395   [wsb 1808   E!weu 2077   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E!wreu 2510   |^|cint 3923   iotacio 5276   iota_crio 5953  BOUNDED wbd 16175  BOUNDED wbdc 16203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-bd0 16176  ax-bdim 16177  ax-bdal 16181  ax-bdel 16184  ax-bdsb 16185

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-iota 5278  df-riota 5954  df-bdc 16204

This theorem is referenced by: (None)