Theorem bdcriota 13918

Description: A class given by a restricted definition binder is bounded, under the given hypotheses. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
bdcriota.bd	|- BOUNDED ph
bdcriota.ex	|- E! x e. y ph

Assertion

Ref	Expression
bdcriota	|- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem bdcriota

Dummy variables z t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bdcriota.bd	. . . . . . . . 9 |- BOUNDED ph
2	1	ax-bdsb 13857	. . . . . . . 8 |- BOUNDED [ z / x ] ph
3		ax-bdel 13856	. . . . . . . 8 |- BOUNDED t e. z
4	2, 3	ax-bdim 13849	. . . . . . 7 |- BOUNDED ( [ z / x ] ph -> t e. z )
5	4	ax-bdal 13853	. . . . . 6 |- BOUNDED A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z )
6		df-ral 2453	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
7		impexp 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) )
8	7	bicomi 131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
9	8	albii 1463	. . . . . . . . 9 |- ( A. z ( z e. y -> ( [ z / x ] ph -> t e. z ) ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
10	6, 9	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) )
11		sban 1948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) )
12		clelsb1 2275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / x ] x e. y <-> z e. y )
13	12	anbi1i 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( [ z / x ] x e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
14	11, 13	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) )
15	14	bicomi 131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
16	15	imbi1i 237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
17	16	albii 1463	. . . . . . . 8 |- ( A. z ( ( z e. y /\ [ z / x ] ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
18	10, 17	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) )
19		df-clab 2157	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } <-> [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) )
20	19	bicomi 131	. . . . . . . . 9 |- ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) <-> z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } )
21	20	imbi1i 237	. . . . . . . 8 |- ( ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
22	21	albii 1463	. . . . . . 7 |- ( A. z ( [ z / x ] ( x e. y /\ ph ) -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
23	18, 22	bitri 183	. . . . . 6 |- ( A. z e. y ( [ z / x ] ph -> t e. z ) <-> A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) )
24	5, 23	bd0 13859	. . . . 5 |- BOUNDED A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z )
25	24	bdcab 13884	. . . 4 |- BOUNDED { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
26		df-int 3832	. . . 4 |- |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } = { t | A. z ( z e. { x | ( x e. y /\ ph ) } -> t e. z ) }
27	25, 26	bdceqir 13879	. . 3 |- BOUNDED |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
28		bdcriota.ex	. . . . 5 |- E! x e. y ph
29		df-reu 2455	. . . . 5 |- ( E! x e. y ph <-> E! x ( x e. y /\ ph ) )
30	28, 29	mpbi 144	. . . 4 |- E! x ( x e. y /\ ph )
31		iotaint 5173	. . . 4 |- ( E! x ( x e. y /\ ph ) -> ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) } )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- ( iota x ( x e. y /\ ph ) ) = |^| { x | ( x e. y /\ ph ) }
33	27, 32	bdceqir 13879	. 2 |- BOUNDED ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
34		df-riota 5809	. 2 |- ( iota_ x e. y ph ) = ( iota x ( x e. y /\ ph ) )
35	33, 34	bdceqir 13879	1 |- BOUNDED ( iota_ x e. y ph )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   A.wal 1346   = wceq 1348   [wsb 1755   E!weu 2019   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E!wreu 2450   |^|cint 3831   iotacio 5158   iota_crio 5808  BOUNDED wbd 13847  BOUNDED wbdc 13875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-bd0 13848  ax-bdim 13849  ax-bdal 13853  ax-bdel 13856  ax-bdsb 13857

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-iota 5160  df-riota 5809  df-bdc 13876

This theorem is referenced by: (None)