Theorem bj-inf2vnlem2 13853

Description: Lemma for bj-inf2vnlem3 13854 and bj-inf2vnlem4 13855. Remark: unoptimized proof (have to use more deduction style). (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-inf2vnlem2	|- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, t, u, A   x, Z, y, t, u

Proof of Theorem bj-inf2vnlem2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2172	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( x = (/) <-> u = (/) ) )
2		eqeq1 2172	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x = suc y <-> u = suc y ) )
3	2	rexbidv 2467	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( E. y e. A x = suc y <-> E. y e. A u = suc y ) )
4	1, 3	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) <-> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
5	4	rspcv 2826	. . . . 5 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
6		df-bj-ind 13809	. . . . . . . . 9 |- (Ind Z <-> ( (/) e. Z /\ A. v e. Z suc v e. Z ) )
7	6	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- (Ind Z -> (/) e. Z )
8		eleq1 2229	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( u e. Z <-> (/) e. Z ) )
9	7, 8	syl5ibr 155	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> u e. Z ) )
10	9	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
11		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
12	11	sucid 4395	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
13		eleq2 2230	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y = u -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
14	13	eqcoms 2168	. . . . . . . . 9 |- ( u = suc y -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
15	12, 14	mpbii 147	. . . . . . . 8 |- ( u = suc y -> y e. u )
16		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. A <-> y e. A ) )
17		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. Z <-> y e. Z ) )
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = y -> ( ( t e. A -> t e. Z ) <-> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
19	18	rspcv 2826	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
20		bj-indsuc 13810	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ind Z -> ( y e. Z -> suc y e. Z ) )
21		eleq1a 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) )
22	20, 21	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Z -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) )
23	19, 22	syl8 71	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
24	23	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
25	24	com25 91	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) ) )
26	15, 25	mpdi 43	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
27	26	rexlimiv 2577	. . . . . 6 |- ( E. y e. A u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
28	10, 27	jaoi 706	. . . . 5 |- ( ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
29	5, 28	syl6 33	. . . 4 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . 3 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
31	30	alrimdv 1864	. 2 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
32		bi2.04 247	. . 3 |- ( ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
33	32	albii 1458	. 2 |- ( A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
34	31, 33	syl6ib 160	1 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   (/)c0 3409   suc csuc 4343  Ind wind 13808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-suc 4349  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-inf2vnlem3  13854  bj-inf2vnlem4  13855