Theorem bj-inf2vnlem2 13617

Description: Lemma for bj-inf2vnlem3 13618 and bj-inf2vnlem4 13619. Remark: unoptimized proof (have to use more deduction style). (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-inf2vnlem2	|- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, t, u, A   x, Z, y, t, u

Proof of Theorem bj-inf2vnlem2

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2164	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( x = (/) <-> u = (/) ) )
2		eqeq1 2164	. . . . . . . 8 |- ( x = u -> ( x = suc y <-> u = suc y ) )
3	2	rexbidv 2458	. . . . . . 7 |- ( x = u -> ( E. y e. A x = suc y <-> E. y e. A u = suc y ) )
4	1, 3	orbi12d 783	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) <-> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
5	4	rspcv 2812	. . . . 5 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) ) )
6		df-bj-ind 13573	. . . . . . . . 9 |- (Ind Z <-> ( (/) e. Z /\ A. v e. Z suc v e. Z ) )
7	6	simplbi 272	. . . . . . . 8 |- (Ind Z -> (/) e. Z )
8		eleq1 2220	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( u e. Z <-> (/) e. Z ) )
9	7, 8	syl5ibr 155	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> u e. Z ) )
10	9	a1dd 48	. . . . . 6 |- ( u = (/) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
11		vex 2715	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
12	11	sucid 4379	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
13		eleq2 2221	. . . . . . . . . 10 |- ( suc y = u -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
14	13	eqcoms 2160	. . . . . . . . 9 |- ( u = suc y -> ( y e. suc y <-> y e. u ) )
15	12, 14	mpbii 147	. . . . . . . 8 |- ( u = suc y -> y e. u )
16		eleq1 2220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. A <-> y e. A ) )
17		eleq1 2220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = y -> ( t e. Z <-> y e. Z ) )
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = y -> ( ( t e. A -> t e. Z ) <-> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
19	18	rspcv 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> y e. Z ) ) )
20		bj-indsuc 13574	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ind Z -> ( y e. Z -> suc y e. Z ) )
21		eleq1a 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) )
22	20, 21	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Z -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) )
23	19, 22	syl8 71	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. u -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. A -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
24	23	com13 80	. . . . . . . . 9 |- ( y e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( u = suc y -> u e. Z ) ) ) ) )
25	24	com25 91	. . . . . . . 8 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> ( y e. u -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) ) )
26	15, 25	mpdi 43	. . . . . . 7 |- ( y e. A -> ( u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
27	26	rexlimiv 2568	. . . . . 6 |- ( E. y e. A u = suc y -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
28	10, 27	jaoi 706	. . . . 5 |- ( ( u = (/) \/ E. y e. A u = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) )
29	5, 28	syl6 33	. . . 4 |- ( u e. A -> ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
30	29	com3l 81	. . 3 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
31	30	alrimdv 1856	. 2 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) ) )
32		bi2.04 247	. . 3 |- ( ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
33	32	albii 1450	. 2 |- ( A. u ( u e. A -> ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> u e. Z ) ) <-> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) )
34	31, 33	syl6ib 160	1 |- ( A. x e. A ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> (Ind Z -> A. u ( A. t e. u ( t e. A -> t e. Z ) -> ( u e. A -> u e. Z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1333   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   E.wrex 2436   (/)c0 3395   suc csuc 4327  Ind wind 13572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-sn 3567  df-suc 4333  df-bj-ind 13573

This theorem is referenced by:  bj-inf2vnlem3  13618  bj-inf2vnlem4  13619