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Theorem bj-inf2vnlem2 13003
Description: Lemma for bj-inf2vnlem3 13004 and bj-inf2vnlem4 13005. Remark: unoptimized proof (have to use more deduction style). (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-inf2vnlem2  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  A. u
( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  Z )
) ) )
Distinct variable groups:    x, y, t, u, A    x, Z, y, t, u

Proof of Theorem bj-inf2vnlem2
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2122 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  (/)  <->  u  =  (/) ) )
2 eqeq1 2122 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  suc  y  <->  u  =  suc  y ) )
32rexbidv 2413 . . . . . . 7  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  A  x  =  suc  y  <->  E. y  e.  A  u  =  suc  y ) )
41, 3orbi12d 765 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  (/)  \/ 
E. y  e.  A  x  =  suc  y )  <-> 
( u  =  (/)  \/ 
E. y  e.  A  u  =  suc  y ) ) )
54rspcv 2757 . . . . 5  |-  ( u  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
( u  =  (/)  \/ 
E. y  e.  A  u  =  suc  y ) ) )
6 df-bj-ind 12959 . . . . . . . . 9  |-  (Ind  Z  <->  (
(/)  e.  Z  /\  A. v  e.  Z  suc  v  e.  Z )
)
76simplbi 270 . . . . . . . 8  |-  (Ind  Z  -> 
(/)  e.  Z )
8 eleq1 2178 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u  e.  Z  <->  (/)  e.  Z
) )
97, 8syl5ibr 155 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  (Ind  Z  ->  u  e.  Z ) )
109a1dd 48 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  (Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z ) ) )
11 vex 2661 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
1211sucid 4307 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
13 eleq2 2179 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  y  =  u  -> 
( y  e.  suc  y 
<->  y  e.  u ) )
1413eqcoms 2118 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  suc  y  -> 
( y  e.  suc  y 
<->  y  e.  u ) )
1512, 14mpbii 147 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  suc  y  -> 
y  e.  u )
16 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  A  <->  y  e.  A ) )
17 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  y  ->  (
t  e.  Z  <->  y  e.  Z ) )
1816, 17imbi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  y  ->  (
( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  <-> 
( y  e.  A  ->  y  e.  Z ) ) )
1918rspcv 2757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  u  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  Z ) ) )
20 bj-indsuc 12960 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Ind  Z  ->  ( y  e.  Z  ->  suc  y  e.  Z
) )
21 eleq1a 2187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( suc  y  e.  Z  -> 
( u  =  suc  y  ->  u  e.  Z
) )
2220, 21syl6com 35 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  Z  ->  (Ind  Z  ->  ( u  =  suc  y  ->  u  e.  Z ) ) )
2319, 22syl8 71 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  u  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  ( y  e.  A  ->  (Ind  Z  ->  ( u  =  suc  y  ->  u  e.  Z
) ) ) ) )
2423com13 80 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  ( y  e.  u  ->  (Ind  Z  ->  ( u  =  suc  y  ->  u  e.  Z
) ) ) ) )
2524com25 91 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  (
u  =  suc  y  ->  ( y  e.  u  ->  (Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) ) ) ) )
2615, 25mpdi 43 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  ->  (
u  =  suc  y  ->  (Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) ) ) )
2726rexlimiv 2518 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  u  =  suc  y  -> 
(Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) ) )
2810, 27jaoi 688 . . . . 5  |-  ( ( u  =  (/)  \/  E. y  e.  A  u  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) ) )
295, 28syl6 33 . . . 4  |-  ( u  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) ) ) )
3029com3l 81 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  (
u  e.  A  -> 
( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z ) ) ) )
3130alrimdv 1830 . 2  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  A. u
( u  e.  A  ->  ( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z ) ) ) )
32 bi2.04 247 . . 3  |-  ( ( u  e.  A  -> 
( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  u  e.  Z ) )  <->  ( A. t  e.  u  (
t  e.  A  -> 
t  e.  Z )  ->  ( u  e.  A  ->  u  e.  Z ) ) )
3332albii 1429 . 2  |-  ( A. u ( u  e.  A  ->  ( A. t  e.  u  (
t  e.  A  -> 
t  e.  Z )  ->  u  e.  Z
) )  <->  A. u
( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  Z )
) )
3431, 33syl6ib 160 1  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  (/)  \/  E. y  e.  A  x  =  suc  y )  -> 
(Ind  Z  ->  A. u
( A. t  e.  u  ( t  e.  A  ->  t  e.  Z )  ->  (
u  e.  A  ->  u  e.  Z )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 680   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392   (/)c0 3331   suc csuc 4255  Ind wind 12958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-sn 3501  df-suc 4261  df-bj-ind 12959
This theorem is referenced by:  bj-inf2vnlem3  13004  bj-inf2vnlem4  13005
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