Theorem bj-inf2vnlem1 13852

Description: Lemma for bj-inf2vn 13856. Remark: unoptimized proof (have to use more deduction style). (Contributed by BJ, 8-Dec-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-inf2vnlem1	|- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> Ind A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem bj-inf2vnlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		biimpr 129	. . . . 5 |- ( ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> x e. A ) )
2		jaob 700	. . . . . 6 |- ( ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> x e. A ) <-> ( ( x = (/) -> x e. A ) /\ ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) ) )
3	2	biimpi 119	. . . . 5 |- ( ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> x e. A ) -> ( ( x = (/) -> x e. A ) /\ ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) ) )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( ( x = (/) -> x e. A ) /\ ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) ) -> ( x = (/) -> x e. A ) )
5		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( x e. A <-> (/) e. A ) )
6	4, 5	mpbidi 150	. . . . 5 |- ( ( ( x = (/) -> x e. A ) /\ ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) ) -> ( x = (/) -> (/) e. A ) )
7	1, 3, 6	3syl 17	. . . 4 |- ( ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> ( x = (/) -> (/) e. A ) )
8	7	alimi 1443	. . 3 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> A. x ( x = (/) -> (/) e. A ) )
9		exim 1587	. . 3 |- ( A. x ( x = (/) -> (/) e. A ) -> ( E. x x = (/) -> E. x (/) e. A ) )
10		0ex 4109	. . . . . 6 |- (/) e. _V
11	10	isseti 2734	. . . . 5 |- E. x x = (/)
12		pm2.27 40	. . . . 5 |- ( E. x x = (/) -> ( ( E. x x = (/) -> E. x (/) e. A ) -> E. x (/) e. A ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( E. x x = (/) -> E. x (/) e. A ) -> E. x (/) e. A )
14		bj-ex 13643	. . . 4 |- ( E. x (/) e. A -> (/) e. A )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( E. x x = (/) -> E. x (/) e. A ) -> (/) e. A )
16	8, 9, 15	3syl 17	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> (/) e. A )
17	3	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ( ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) -> x e. A ) -> ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) )
18	1, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) )
19	18	alimi 1443	. . . 4 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> A. x ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) )
20		eqid 2165	. . . . 5 |- suc z = suc z
21		suceq 4380	. . . . . . 7 |- ( y = z -> suc y = suc z )
22	21	eqeq2d 2177	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( suc z = suc y <-> suc z = suc z ) )
23	22	rspcev 2830	. . . . 5 |- ( ( z e. A /\ suc z = suc z ) -> E. y e. A suc z = suc y )
24	20, 23	mpan2 422	. . . 4 |- ( z e. A -> E. y e. A suc z = suc y )
25		vex 2729	. . . . . 6 |- z e. _V
26	25	bj-sucex 13805	. . . . 5 |- suc z e. _V
27		eqeq1 2172	. . . . . . 7 |- ( x = suc z -> ( x = suc y <-> suc z = suc y ) )
28	27	rexbidv 2467	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( E. y e. A x = suc y <-> E. y e. A suc z = suc y ) )
29		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( x = suc z -> ( x e. A <-> suc z e. A ) )
30	28, 29	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( x = suc z -> ( ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) <-> ( E. y e. A suc z = suc y -> suc z e. A ) ) )
31	26, 30	spcv 2820	. . . 4 |- ( A. x ( E. y e. A x = suc y -> x e. A ) -> ( E. y e. A suc z = suc y -> suc z e. A ) )
32	19, 24, 31	syl2im 38	. . 3 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> ( z e. A -> suc z e. A ) )
33	32	ralrimiv 2538	. 2 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> A. z e. A suc z e. A )
34		df-bj-ind 13809	. 2 |- (Ind A <-> ( (/) e. A /\ A. z e. A suc z e. A ) )
35	16, 33, 34	sylanbrc 414	1 |- ( A. x ( x e. A <-> ( x = (/) \/ E. y e. A x = suc y ) ) -> Ind A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1341   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   (/)c0 3409   suc csuc 4343  Ind wind 13808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-nul 4108  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-bd0 13695  ax-bdor 13698  ax-bdex 13701  ax-bdeq 13702  ax-bdel 13703  ax-bdsb 13704  ax-bdsep 13766

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-nul 3410  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-suc 4349  df-bdc 13723  df-bj-ind 13809

This theorem is referenced by:  bj-inf2vn  13856  bj-inf2vn2  13857