Theorem bj-nnen2lp 15516

Description: A version of en2lp 4587 for natural numbers, which does not require ax-setind 4570.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 15515, one can remove dependency on ax-setind 4570 from nntri2 6549 and nndcel 6555; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 15515	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 15513	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3174	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 254	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 664	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   C_ wss 3154   omcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-nul 4156  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-bd0 15375  ax-bdor 15378  ax-bdn 15379  ax-bdal 15380  ax-bdex 15381  ax-bdeq 15382  ax-bdel 15383  ax-bdsb 15384  ax-bdsep 15446  ax-infvn 15503

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-suc 4403  df-iom 4624  df-bdc 15403  df-bj-ind 15489

This theorem is referenced by:  bj-peano4  15517