Theorem bj-nnen2lp 12835

Description: A version of en2lp 4427 for natural numbers, which does not require ax-setind 4410.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 12834, one can remove dependency on ax-setind 4410 from nntri2 6342 and nndcel 6348; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 12834	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 273	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 12832	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 273	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3055	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 252	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 635	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1461   C_ wss 3035   omcom 4462

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-nul 4012  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-bd0 12694  ax-bdor 12697  ax-bdn 12698  ax-bdal 12699  ax-bdex 12700  ax-bdeq 12701  ax-bdel 12702  ax-bdsb 12703  ax-bdsep 12765  ax-infvn 12822

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-sn 3497  df-pr 3498  df-uni 3701  df-int 3736  df-suc 4251  df-iom 4463  df-bdc 12722  df-bj-ind 12808

This theorem is referenced by:  bj-peano4  12836