Theorem bj-nnen2lp 16653

Description: A version of en2lp 4658 for natural numbers, which does not require ax-setind 4641.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 16652, one can remove dependency on ax-setind 4641 from nntri2 6705 and nndcel 6711; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 16652	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 16650	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3222	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 254	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 669	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3201   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-nul 4220  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-bd0 16512  ax-bdor 16515  ax-bdn 16516  ax-bdal 16517  ax-bdex 16518  ax-bdeq 16519  ax-bdel 16520  ax-bdsb 16521  ax-bdsep 16583  ax-infvn 16640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-suc 4474  df-iom 4695  df-bdc 16540  df-bj-ind 16626

This theorem is referenced by:  bj-peano4  16654