Theorem bj-nnen2lp 15852

Description: A version of en2lp 4601 for natural numbers, which does not require ax-setind 4584.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 15851, one can remove dependency on ax-setind 4584 from nntri2 6579 and nndcel 6585; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 15851	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 15849	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3186	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 254	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 664	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2175   C_ wss 3165   omcom 4637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-nul 4169  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-bd0 15711  ax-bdor 15714  ax-bdn 15715  ax-bdal 15716  ax-bdex 15717  ax-bdeq 15718  ax-bdel 15719  ax-bdsb 15720  ax-bdsep 15782  ax-infvn 15839

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-sn 3638  df-pr 3639  df-uni 3850  df-int 3885  df-suc 4417  df-iom 4638  df-bdc 15739  df-bj-ind 15825

This theorem is referenced by:  bj-peano4  15853