Theorem bj-nnen2lp 16089

Description: A version of en2lp 4620 for natural numbers, which does not require ax-setind 4603.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 16088, one can remove dependency on ax-setind 4603 from nntri2 6603 and nndcel 6609; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 16088	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 16086	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3195	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 254	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 665	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   C_ wss 3174   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-nul 4186  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-bd0 15948  ax-bdor 15951  ax-bdn 15952  ax-bdal 15953  ax-bdex 15954  ax-bdeq 15955  ax-bdel 15956  ax-bdsb 15957  ax-bdsep 16019  ax-infvn 16076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-suc 4436  df-iom 4657  df-bdc 15976  df-bj-ind 16062

This theorem is referenced by:  bj-peano4  16090