Theorem bj-nnen2lp 13949

Description: A version of en2lp 4536 for natural numbers, which does not require ax-setind 4519.

Note: using this theorem and bj-nnelirr 13948, one can remove dependency on ax-setind 4519 from nntri2 6470 and nndcel 6476; one can actually remove more dependencies from these. (Contributed by BJ, 28-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnen2lp	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Proof of Theorem bj-nnen2lp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nnelirr 13948	. . 3 |- ( B e. om -> -. B e. B )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. B e. B )
3		bj-nntrans 13946	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
5		ssel 3141	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( B e. A -> B e. B ) )
6	4, 5	syl6 33	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> ( B e. A -> B e. B ) ) )
7	6	impd 252	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B /\ B e. A ) -> B e. B ) )
8	2, 7	mtod 658	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> -. ( A e. B /\ B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   C_ wss 3121   omcom 4572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-nul 4113  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-bd0 13808  ax-bdor 13811  ax-bdn 13812  ax-bdal 13813  ax-bdex 13814  ax-bdeq 13815  ax-bdel 13816  ax-bdsb 13817  ax-bdsep 13879  ax-infvn 13936

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3795  df-int 3830  df-suc 4354  df-iom 4573  df-bdc 13836  df-bj-ind 13922

This theorem is referenced by:  bj-peano4  13950