Theorem en2lp 4531

Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
en2lp	|- -. ( A e. B /\ B e. A )

Proof of Theorem en2lp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. A -> B e. _V )
2		prid2g 3681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> B e. { A , B } )
3		eldif 3125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. ( _V \ { A , B } ) <-> ( B e. _V /\ -. B e. { A , B } ) )
4		pm3.4 331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. _V /\ -. B e. { A , B } ) -> ( B e. _V -> -. B e. { A , B } ) )
5	3, 4	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ( _V \ { A , B } ) -> ( B e. _V -> -. B e. { A , B } ) )
6	5	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. _V -> ( B e. ( _V \ { A , B } ) -> -. B e. { A , B } ) )
7	2, 6	mt2d 615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. _V -> -. B e. ( _V \ { A , B } ) )
8	1, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. A -> -. B e. ( _V \ { A , B } ) )
9	8	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> -. B e. ( _V \ { A , B } ) )
10		simp1r 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = A ) -> B e. A )
11		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = B -> ( y e. x <-> B e. x ) )
12		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = B -> ( y e. ( _V \ { A , B } ) <-> B e. ( _V \ { A , B } ) ) )
13	11, 12	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = B -> ( ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
14	13	spcgv 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. x -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
15	14	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) )
16	15	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = A ) -> ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) )
17		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = A -> ( B e. x <-> B e. A ) )
18	17	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( B e. A -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
19	18	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = A ) -> ( ( B e. x -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( B e. A -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
20	16, 19	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = A ) -> ( B e. A -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) )
21	10, 20	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = A ) -> B e. ( _V \ { A , B } ) )
22	21	3expia 1195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> ( x = A -> B e. ( _V \ { A , B } ) ) )
23	9, 22	mtod 653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> -. x = A )
24		elex 2737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. B -> A e. _V )
25		prid1g 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> A e. { A , B } )
26		eldif 3125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( _V \ { A , B } ) <-> ( A e. _V /\ -. A e. { A , B } ) )
27		pm3.4 331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. { A , B } ) -> ( A e. _V -> -. A e. { A , B } ) )
28	26, 27	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( _V \ { A , B } ) -> ( A e. _V -> -. A e. { A , B } ) )
29	28	com12 30	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. _V -> ( A e. ( _V \ { A , B } ) -> -. A e. { A , B } ) )
30	25, 29	mt2d 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. _V -> -. A e. ( _V \ { A , B } ) )
31	24, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. B -> -. A e. ( _V \ { A , B } ) )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> -. A e. ( _V \ { A , B } ) )
33	32	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> -. A e. ( _V \ { A , B } ) )
34		simp1l 1011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = B ) -> A e. B )
35		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = A -> ( y e. x <-> A e. x ) )
36		eleq1 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = A -> ( y e. ( _V \ { A , B } ) <-> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
37	35, 36	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = A -> ( ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
38	37	spcgv 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. x -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
39	38	pm2.43b 52	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
40	39	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = B ) -> ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
41		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) )
42	41	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( A e. B -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
43	42	3ad2ant3 1010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = B ) -> ( ( A e. x -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( A e. B -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) ) )
44	40, 43	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = B ) -> ( A e. B -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
45	34, 44	mpd 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) /\ x = B ) -> A e. ( _V \ { A , B } ) )
46	45	3expia 1195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> ( x = B -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
47	33, 46	mtod 653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> -. x = B )
48		ioran 742	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( x = A \/ x = B ) <-> ( -. x = A /\ -. x = B ) )
49	23, 47, 48	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> -. ( x = A \/ x = B ) )
50		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
51		eldif 3125	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( _V \ { A , B } ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. { A , B } ) )
52	50, 51	mpbiran 930	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( _V \ { A , B } ) <-> -. x e. { A , B } )
53	50	elpr 3597	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A , B } <-> ( x = A \/ x = B ) )
54	52, 53	xchbinx 672	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( _V \ { A , B } ) <-> -. ( x = A \/ x = B ) )
55	49, 54	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. B /\ B e. A ) /\ A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) )
56	55	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
57	56	alrimiv 1862	. . . . 5 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
58		df-ral 2449	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) <-> A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
59		clelsb1 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) <-> y e. ( _V \ { A , B } ) )
60	59	imbi2i 225	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) )
61	60	albii 1458	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( y e. x -> [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) )
62	58, 61	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) <-> A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) )
63	62	imbi1i 237	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
64	63	albii 1458	. . . . 5 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) <-> A. x ( A. y ( y e. x -> y e. ( _V \ { A , B } ) ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
65	57, 64	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) )
66		ax-setind 4514	. . . 4 |- ( A. x ( A. y e. x [ y / x ] x e. ( _V \ { A , B } ) -> x e. ( _V \ { A , B } ) ) -> A. x x e. ( _V \ { A , B } ) )
67	65, 66	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> A. x x e. ( _V \ { A , B } ) )
68		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. ( _V \ { A , B } ) <-> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
69	68	spcgv 2813	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A. x x e. ( _V \ { A , B } ) -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
70	69	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> ( A. x x e. ( _V \ { A , B } ) -> A e. ( _V \ { A , B } ) ) )
71	67, 70	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. B /\ B e. A ) -> A e. ( _V \ { A , B } ) )
72	71, 32	pm2.65i 629	1 |- -. ( A e. B /\ B e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 968   A.wal 1341   = wceq 1343   [wsb 1750   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  preleq  4532  suc11g  4534  ordsuc  4540  2pwuninelg  6251  nntri2  6462  nndcel  6468