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Theorem en2lp 4437
Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
en2lp  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )

Proof of Theorem en2lp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
2 prid2g 3596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { A ,  B } )
3 eldif 3048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( B  e. 
_V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
4 pm3.4 329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B }
) )
53, 4sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
65com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
72, 6mt2d 597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
81, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
98ad2antlr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
10 simp1r 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  A )
11 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  B  e.  x ) )
12 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
1413spcgv 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
1514pm2.43b 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
16153ad2ant2 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
17 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  A ) )
1817imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
19183ad2ant3 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
2016, 19mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
2110, 20mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
22213expia 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
239, 22mtod 635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
24 elex 2669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
25 prid1g 3595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A ,  B } )
26 eldif 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
27 pm3.4 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B }
) )
2826, 27sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
2928com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
3025, 29mt2d 597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3124, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3231adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3332adantr 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
34 simp1l 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  B )
35 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
36 eleq1 2178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
3735, 36imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
3837spcgv 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
3938pm2.43b 52 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
40393ad2ant2 986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
41 eleq2 2179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4241imbi1d 230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
43423ad2ant3 987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
4440, 43mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
4534, 44mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
46453expia 1166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
4733, 46mtod 635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  B )
48 ioran 724 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  =  A  \/  x  =  B )  <->  ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B ) )
4923, 47, 48sylanbrc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
50 vex 2661 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
51 eldif 3048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( x  e. 
_V  /\  -.  x  e.  { A ,  B } ) )
5250, 51mpbiran 907 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  x  e.  { A ,  B }
)
5350elpr 3516 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5452, 53xchbinx 654 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5549, 54sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
5655ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
5756alrimiv 1828 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
58 df-ral 2396 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
59 clelsb3 2220 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
6059imbi2i 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
6160albii 1429 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6258, 61bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6362imbi1i 237 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6463albii 1429 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6557, 64sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
66 ax-setind 4420 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
6765, 66syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
68 eleq1 2178 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6968spcgv 2745 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7069adantr 272 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7167, 70mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
7271, 32pm2.65i 611 1  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 945   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   [wsb 1718   A.wral 2391   _Vcvv 2658    \ cdif 3036   {cpr 3496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-sn 3501  df-pr 3502
This theorem is referenced by:  preleq  4438  suc11g  4440  ordsuc  4446  2pwuninelg  6146  nntri2  6356  nndcel  6362
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