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Theorem en2lp 4343
Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
en2lp  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )

Proof of Theorem en2lp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
2 prid2g 3530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { A ,  B } )
3 eldif 2997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( B  e. 
_V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
4 pm3.4 326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B }
) )
53, 4sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
65com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
72, 6mt2d 588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
81, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
98ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
10 simp1r 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  A )
11 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  B  e.  x ) )
12 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
1311, 12imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
1413spcgv 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
1514pm2.43b 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
16153ad2ant2 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
17 eleq2 2148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  A ) )
1817imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
19183ad2ant3 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
2016, 19mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
2110, 20mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
22213expia 1143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
239, 22mtod 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
24 elex 2624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
25 prid1g 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A ,  B } )
26 eldif 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
27 pm3.4 326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B }
) )
2826, 27sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
2928com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
3025, 29mt2d 588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3124, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3231adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3332adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
34 simp1l 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  B )
35 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
36 eleq1 2147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
3735, 36imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
3837spcgv 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
3938pm2.43b 51 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
40393ad2ant2 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
41 eleq2 2148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4241imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
43423ad2ant3 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
4440, 43mpbid 145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
4534, 44mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
46453expia 1143 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
4733, 46mtod 622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  B )
48 ioran 702 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  =  A  \/  x  =  B )  <->  ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B ) )
4923, 47, 48sylanbrc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
50 vex 2618 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
51 eldif 2997 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( x  e. 
_V  /\  -.  x  e.  { A ,  B } ) )
5250, 51mpbiran 884 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  x  e.  { A ,  B }
)
5350elpr 3452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5452, 53xchbinx 640 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5549, 54sylibr 132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
5655ex 113 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
5756alrimiv 1799 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
58 df-ral 2360 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
59 clelsb3 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
6059imbi2i 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
6160albii 1402 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6258, 61bitri 182 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6362imbi1i 236 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6463albii 1402 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6557, 64sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
66 ax-setind 4326 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
6765, 66syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
68 eleq1 2147 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6968spcgv 2699 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7069adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7167, 70mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
7271, 32pm2.65i 601 1  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 922   A.wal 1285    = wceq 1287    e. wcel 1436   [wsb 1689   A.wral 2355   _Vcvv 2615    \ cdif 2985   {cpr 3432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-setind 4326
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617  df-dif 2990  df-un 2992  df-sn 3437  df-pr 3438
This theorem is referenced by:  preleq  4344  suc11g  4346  ordsuc  4352  2pwuninelg  6002  nntri2  6209  nndcel  6215
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