ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nndcel Unicode version

Theorem nndcel 6498
Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nndcel  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  -> DECID  A  e.  B )

Proof of Theorem nndcel
StepHypRef Expression
1 nntri3or 6491 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
2 orc 712 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B
) )
3 elirr 4539 . . . . . 6  |-  -.  B  e.  B
4 eleq1 2240 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  B  <->  B  e.  B ) )
53, 4mtbiri 675 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  e.  B )
65olcd 734 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B
) )
7 en2lp 4552 . . . . . 6  |-  -.  ( B  e.  A  /\  A  e.  B )
87imnani 691 . . . . 5  |-  ( B  e.  A  ->  -.  A  e.  B )
98olcd 734 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B
) )
102, 6, 93jaoi 1303 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B
) )
111, 10syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B
) )
12 df-dc 835 . 2  |-  (DECID  A  e.  B  <->  ( A  e.  B  \/  -.  A  e.  B ) )
1311, 12sylibr 134 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  -> DECID  A  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708  DECID wdc 834    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148   omcom 4588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-tr 4101  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589
This theorem is referenced by:  enumctlemm  7110  nnnninf  7121  nnnninfeq  7123  ltdcpi  7319
  Copyright terms: Public domain W3C validator