Theorem nndcel 6763

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6756	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		orc 724	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
3		elirr 4683	. . . . . 6 |- -. B e. B
4		eleq1 2301	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. B <-> B e. B ) )
5	3, 4	mtbiri 686	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
6	5	olcd 746	. . . 4 |- ( A = B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
7		en2lp 4696	. . . . . 6 |- -. ( B e. A /\ A e. B )
8	7	imnani 702	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A e. B )
9	8	olcd 746	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
10	2, 6, 9	3jaoi 1344	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
12		df-dc 847	. 2 |- (DECID A e. B <-> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-tr 4225  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7444  nnnninf  7456  nnnninfeq  7458  ltdcpi  7680  nninfinf  10858  nninfctlemfo  12795