Theorem nndcel 6667

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6660	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		orc 719	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
3		elirr 4639	. . . . . 6 |- -. B e. B
4		eleq1 2294	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. B <-> B e. B ) )
5	3, 4	mtbiri 681	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
6	5	olcd 741	. . . 4 |- ( A = B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
7		en2lp 4652	. . . . . 6 |- -. ( B e. A /\ A e. B )
8	7	imnani 697	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A e. B )
9	8	olcd 741	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
10	2, 6, 9	3jaoi 1339	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
12		df-dc 842	. 2 |- (DECID A e. B <-> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715  DECID wdc 841   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   omcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7312  nnnninf  7324  nnnninfeq  7326  ltdcpi  7542  nninfinf  10704  nninfctlemfo  12610