Theorem nndcel 6746

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6739	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		orc 720	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
3		elirr 4668	. . . . . 6 |- -. B e. B
4		eleq1 2297	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. B <-> B e. B ) )
5	3, 4	mtbiri 682	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
6	5	olcd 742	. . . 4 |- ( A = B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
7		en2lp 4681	. . . . . 6 |- -. ( B e. A /\ A e. B )
8	7	imnani 698	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A e. B )
9	8	olcd 742	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
10	2, 6, 9	3jaoi 1340	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
12		df-dc 843	. 2 |- (DECID A e. B <-> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2205   omcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-tr 4214  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7418  nnnninf  7430  nnnninfeq  7432  ltdcpi  7654  nninfinf  10829  nninfctlemfo  12761