Theorem nndcel 6404

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6397	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		orc 702	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
3		elirr 4464	. . . . . 6 |- -. B e. B
4		eleq1 2203	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. B <-> B e. B ) )
5	3, 4	mtbiri 665	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
6	5	olcd 724	. . . 4 |- ( A = B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
7		en2lp 4477	. . . . . 6 |- -. ( B e. A /\ A e. B )
8	7	imnani 681	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A e. B )
9	8	olcd 724	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
10	2, 6, 9	3jaoi 1282	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
12		df-dc 821	. 2 |- (DECID A e. B <-> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   \/ w3o 962   = wceq 1332   e. wcel 1481   omcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7007  nnnninf  7031  ltdcpi  7155  nninfalllemn  13377