Theorem nndcel 6555

Description: Set membership between two natural numbers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndcel	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Proof of Theorem nndcel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6548	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		orc 713	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
3		elirr 4574	. . . . . 6 |- -. B e. B
4		eleq1 2256	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( A e. B <-> B e. B ) )
5	3, 4	mtbiri 676	. . . . 5 |- ( A = B -> -. A e. B )
6	5	olcd 735	. . . 4 |- ( A = B -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
7		en2lp 4587	. . . . . 6 |- -. ( B e. A /\ A e. B )
8	7	imnani 692	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A e. B )
9	8	olcd 735	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
10	2, 6, 9	3jaoi 1314	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
11	1, 10	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
12		df-dc 836	. 2 |- (DECID A e. B <-> ( A e. B \/ -. A e. B ) )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   omcom 4623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837  df-int 3872  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624

This theorem is referenced by:  enumctlemm  7175  nnnninf  7187  nnnninfeq  7189  ltdcpi  7385  nninfinf  10517  nninfctlemfo  12180