ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri2 Unicode version

Theorem nntri2 6255
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )

Proof of Theorem nntri2
StepHypRef Expression
1 elirr 4357 . . . . 5  |-  -.  A  e.  A
2 eleq2 2151 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  A  e.  B ) )
31, 2mtbii 634 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  e.  B )
43con2i 592 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  =  B )
5 en2lp 4370 . . . 4  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )
65imnani 660 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  -.  B  e.  A )
7 ioran 704 . . 3  |-  ( -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
)  <->  ( -.  A  =  B  /\  -.  B  e.  A ) )
84, 6, 7sylanbrc 408 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) )
9 nntri3or 6254 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
10 3orass 927 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( A  e.  B  \/  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
119, 10sylib 120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
1211orcomd 683 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  =  B  \/  B  e.  A )  \/  A  e.  B ) )
1312ord 678 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  A  e.  B ) )
148, 13impbid2 141 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   omcom 4405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406
This theorem is referenced by:  nnaord  6266  nnmord  6274  pitric  6878
  Copyright terms: Public domain W3C validator