Theorem nntri2 6767

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4688	. . . . 5 |- -. A e. A
2		eleq2 2302	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 685	. . . 4 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 636	. . 3 |- ( A e. B -> -. A = B )
5		en2lp 4701	. . . 4 |- -. ( A e. B /\ B e. A )
6	5	imnani 702	. . 3 |- ( A e. B -> -. B e. A )
7		ioran 764	. . 3 |- ( -. ( A = B \/ B e. A ) <-> ( -. A = B /\ -. B e. A ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 421	. 2 |- ( A e. B -> -. ( A = B \/ B e. A ) )
9		nntri3or 6766	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
10		3orass 1012	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
12	11	orcomd 741	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) \/ A e. B ) )
13	12	ord 736	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. ( A = B \/ B e. A ) -> A e. B ) )
14	8, 13	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   omcom 4737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-int 3971  df-tr 4230  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738

This theorem is used by:  nnaord  6782  nnmord  6790  pitric  7688