Theorem nntri2 6580

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4589	. . . . 5 |- -. A e. A
2		eleq2 2269	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 676	. . . 4 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 628	. . 3 |- ( A e. B -> -. A = B )
5		en2lp 4602	. . . 4 |- -. ( A e. B /\ B e. A )
6	5	imnani 693	. . 3 |- ( A e. B -> -. B e. A )
7		ioran 754	. . 3 |- ( -. ( A = B \/ B e. A ) <-> ( -. A = B /\ -. B e. A ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 |- ( A e. B -> -. ( A = B \/ B e. A ) )
9		nntri3or 6579	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
10		3orass 984	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
12	11	orcomd 731	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) \/ A e. B ) )
13	12	ord 726	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. ( A = B \/ B e. A ) -> A e. B ) )
14	8, 13	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4143  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  nnaord  6595  nnmord  6603  pitric  7434