Theorem nntri2 6661

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4639	. . . . 5 |- -. A e. A
2		eleq2 2295	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 680	. . . 4 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 632	. . 3 |- ( A e. B -> -. A = B )
5		en2lp 4652	. . . 4 |- -. ( A e. B /\ B e. A )
6	5	imnani 697	. . 3 |- ( A e. B -> -. B e. A )
7		ioran 759	. . 3 |- ( -. ( A = B \/ B e. A ) <-> ( -. A = B /\ -. B e. A ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 417	. 2 |- ( A e. B -> -. ( A = B \/ B e. A ) )
9		nntri3or 6660	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
10		3orass 1007	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
11	9, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
12	11	orcomd 736	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) \/ A e. B ) )
13	12	ord 731	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. ( A = B \/ B e. A ) -> A e. B ) )
14	8, 13	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   \/ w3o 1003   = wceq 1397   e. wcel 2202   omcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnaord  6676  nnmord  6684  pitric  7540