Theorem nntri2 6462

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4518	. . . . 5 |- -. A e. A
2		eleq2 2230	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 664	. . . 4 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 617	. . 3 |- ( A e. B -> -. A = B )
5		en2lp 4531	. . . 4 |- -. ( A e. B /\ B e. A )
6	5	imnani 681	. . 3 |- ( A e. B -> -. B e. A )
7		ioran 742	. . 3 |- ( -. ( A = B \/ B e. A ) <-> ( -. A = B /\ -. B e. A ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 414	. 2 |- ( A e. B -> -. ( A = B \/ B e. A ) )
9		nntri3or 6461	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
10		3orass 971	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
12	11	orcomd 719	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) \/ A e. B ) )
13	12	ord 714	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. ( A = B \/ B e. A ) -> A e. B ) )
14	8, 13	impbid2 142	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  nnaord  6477  nnmord  6485  pitric  7262