Theorem nntri2 6390

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri2	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Proof of Theorem nntri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirr 4456	. . . . 5 |- -. A e. A
2		eleq2 2203	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
3	1, 2	mtbii 663	. . . 4 |- ( A = B -> -. A e. B )
4	3	con2i 616	. . 3 |- ( A e. B -> -. A = B )
5		en2lp 4469	. . . 4 |- -. ( A e. B /\ B e. A )
6	5	imnani 680	. . 3 |- ( A e. B -> -. B e. A )
7		ioran 741	. . 3 |- ( -. ( A = B \/ B e. A ) <-> ( -. A = B /\ -. B e. A ) )
8	4, 6, 7	sylanbrc 413	. 2 |- ( A e. B -> -. ( A = B \/ B e. A ) )
9		nntri3or 6389	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
10		3orass 965	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
11	9, 10	sylib 121	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ ( A = B \/ B e. A ) ) )
12	11	orcomd 718	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) \/ A e. B ) )
13	12	ord 713	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. ( A = B \/ B e. A ) -> A e. B ) )
14	8, 13	impbid2 142	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   \/ w3o 961   = wceq 1331   e. wcel 1480   omcom 4504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505

This theorem is referenced by:  nnaord  6405  nnmord  6413  pitric  7129