Theorem brabga 4295

Description: The law of concretion for a binary relation. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelopabga.1	|- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ps ) )
brabga.2	|- R = { <. x , y >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
brabga	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A R B <-> ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   ps, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   R( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem brabga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4031	. . 3 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. R )
2		brabga.2	. . . 4 |- R = { <. x , y >. | ph }
3	2	eleq2i 2260	. . 3 |- ( <. A , B >. e. R <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
4	1, 3	bitri 184	. 2 |- ( A R B <-> <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } )
5		opelopabga.1	. . 3 |- ( ( x = A /\ y = B ) -> ( ph <-> ps ) )
6	5	opelopabga 4294	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <. A , B >. e. { <. x , y >. | ph } <-> ps ) )
7	4, 6	bitrid 192	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A R B <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030   {copab 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092

This theorem is referenced by:  braba  4298  brabg  4300  epelg  4322  brcog  4830  fmptco  5725  ofrfval  6141  clim  11427  isstruct2im  12631  isstruct2r  12632  eqgval  13296  dvdsrd  13593