Theorem dvdsrd 13856

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	|- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, X   z, Y   z, R   z, .x.   ph, z

Allowed substitution hint:   .|| ( z)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. SRing )
2		reldvdsrsrg 13854	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> Rel ( ||r ` R ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Rel ( ||r ` R ) )
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
5	4	releqd 4759	. . . . 5 |- ( ph -> ( Rel .|| <-> Rel ( ||r ` R ) ) )
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> Rel .|| )
7		brrelex12 4713	. . . 4 |- ( ( Rel .|| /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
9	8	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( X .|| Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
10		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. B )
11	10	elexd 2785	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. _V )
12		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = Y )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> R e. SRing )
14		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. B )
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> B = ( Base ` R ) )
17	14, 16	eleqtrd 2284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
18	10, 16	eleqtrd 2284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. ( Base ` R ) )
19		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
20		eqid 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
21	19, 20	srgcl 13732	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ z e. ( Base ` R ) /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
25	24	oveqd 5961	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = ( z ( .r ` R ) X ) )
26	22, 25, 16	3eltr4d 2289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) e. B )
27	12, 26	eqeltrrd 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. B )
28	27	elexd 2785	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. _V )
29	11, 28	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
30	29	rexlimdvaa 2624	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( E. z e. B ( z .x. X ) = Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
31	30	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 13855	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
34	33	breqd 4055	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y ) )
35		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
36	35	eleq1d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x e. B <-> X e. B ) )
37	35	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( z .x. x ) = ( z .x. X ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
39	37, 38	eqeq12d 2220	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( z .x. x ) = y <-> ( z .x. X ) = Y ) )
40	39	rexbidv 2507	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( E. z e. B ( z .x. x ) = y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
42		eqid 2205	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) }
43	41, 42	brabga 4310	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
44	43	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
46	45	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) ) )
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 707	1 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   {copab 4104   Rel wrel 4680   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   .rcmulr 12910  SRingcsrg 13725   ||_rcdsr 13848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-mgp 13683  df-srg 13726  df-dvdsr 13851

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13857  dvdsrmuld  13858  dvdsrcld  13859  dvdsrcl2  13861  dvdsrtr  13863  dvdsrmul1  13864  opprunitd  13872  crngunit  13873  rhmdvdsr  13937  subrgdvds  13997  cnfldui  14351