Theorem dvdsrd 14107

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	|- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, X   z, Y   z, R   z, .x.   ph, z

Allowed substitution hint:   .|| ( z)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. SRing )
2		reldvdsrsrg 14105	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> Rel ( ||r ` R ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Rel ( ||r ` R ) )
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
5	4	releqd 4810	. . . . 5 |- ( ph -> ( Rel .|| <-> Rel ( ||r ` R ) ) )
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> Rel .|| )
7		brrelex12 4764	. . . 4 |- ( ( Rel .|| /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
9	8	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( X .|| Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
10		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. B )
11	10	elexd 2816	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. _V )
12		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = Y )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> R e. SRing )
14		simprl 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. B )
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> B = ( Base ` R ) )
17	14, 16	eleqtrd 2310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
18	10, 16	eleqtrd 2310	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. ( Base ` R ) )
19		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
20		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
21	19, 20	srgcl 13982	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ z e. ( Base ` R ) /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
25	24	oveqd 6034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = ( z ( .r ` R ) X ) )
26	22, 25, 16	3eltr4d 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) e. B )
27	12, 26	eqeltrrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. B )
28	27	elexd 2816	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. _V )
29	11, 28	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
30	29	rexlimdvaa 2651	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( E. z e. B ( z .x. X ) = Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
31	30	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 14106	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
34	33	breqd 4099	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y ) )
35		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
36	35	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x e. B <-> X e. B ) )
37	35	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( z .x. x ) = ( z .x. X ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
39	37, 38	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( z .x. x ) = y <-> ( z .x. X ) = Y ) )
40	39	rexbidv 2533	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( E. z e. B ( z .x. x ) = y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
42		eqid 2231	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) }
43	41, 42	brabga 4358	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
44	43	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
46	45	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) ) )
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 712	1 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   {copab 4149   Rel wrel 4730   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   .rcmulr 13160  SRingcsrg 13975   ||_rcdsr 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mgp 13933  df-srg 13976  df-dvdsr 14101

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  14108  dvdsrmuld  14109  dvdsrcld  14110  dvdsrcl2  14112  dvdsrtr  14114  dvdsrmul1  14115  opprunitd  14123  crngunit  14124  rhmdvdsr  14188  subrgdvds  14248  cnfldui  14602