Theorem dvdsrd 13650

Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsrvald.1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
dvdsrvald.2	|- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
dvdsrvald.r	|- ( ph -> R e. SRing )
dvdsrvald.3	|- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
dvdsrd	|- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Distinct variable groups:   z, B   z, X   z, Y   z, R   z, .x.   ph, z

Allowed substitution hint:   .|| ( z)

Proof of Theorem dvdsrd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvdsrvald.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. SRing )
2		reldvdsrsrg 13648	. . . . . 6 |- ( R e. SRing -> Rel ( ||r ` R ) )
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> Rel ( ||r ` R ) )
4		dvdsrvald.2	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = ( ||r ` R ) )
5	4	releqd 4747	. . . . 5 |- ( ph -> ( Rel .|| <-> Rel ( ||r ` R ) ) )
6	3, 5	mpbird 167	. . . 4 |- ( ph -> Rel .|| )
7		brrelex12 4701	. . . 4 |- ( ( Rel .|| /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( ph /\ X .|| Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
9	8	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( X .|| Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
10		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. B )
11	10	elexd 2776	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. _V )
12		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = Y )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> R e. SRing )
14		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. B )
15		dvdsrvald.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> B = ( Base ` R ) )
17	14, 16	eleqtrd 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
18	10, 16	eleqtrd 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> X e. ( Base ` R ) )
19		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
20		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
21	19, 20	srgcl 13526	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. SRing /\ z e. ( Base ` R ) /\ X e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
22	13, 17, 18, 21	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z ( .r ` R ) X ) e. ( Base ` R ) )
23		dvdsrvald.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> .x. = ( .r ` R ) )
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> .x. = ( .r ` R ) )
25	24	oveqd 5939	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) = ( z ( .r ` R ) X ) )
26	22, 25, 16	3eltr4d 2280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( z .x. X ) e. B )
27	12, 26	eqeltrrd 2274	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. B )
28	27	elexd 2776	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> Y e. _V )
29	11, 28	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ X e. B ) /\ ( z e. B /\ ( z .x. X ) = Y ) ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
30	29	rexlimdvaa 2615	. . 3 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( E. z e. B ( z .x. X ) = Y -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
31	30	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) )
32	15, 4, 1, 23	dvdsrvald 13649	. . . . . 6 |- ( ph -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
33	32	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> .|| = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } )
34	33	breqd 4044	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y ) )
35		simpl 109	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> x = X )
36	35	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( x e. B <-> X e. B ) )
37	35	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( z .x. x ) = ( z .x. X ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> y = Y )
39	37, 38	eqeq12d 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( z .x. x ) = y <-> ( z .x. X ) = Y ) )
40	39	rexbidv 2498	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( E. z e. B ( z .x. x ) = y <-> E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) )
41	36, 40	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
42		eqid 2196	. . . . . 6 |- { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } = { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) }
43	41, 42	brabga 4298	. . . . 5 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
44	43	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X { <. x , y >. | ( x e. B /\ E. z e. B ( z .x. x ) = y ) } Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
45	34, 44	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. _V /\ Y e. _V ) ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )
46	45	ex 115	. 2 |- ( ph -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) ) )
47	9, 31, 46	pm5.21ndd 706	1 |- ( ph -> ( X .|| Y <-> ( X e. B /\ E. z e. B ( z .x. X ) = Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   {copab 4093   Rel wrel 4668   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   .rcmulr 12756  SRingcsrg 13519   ||_rcdsr 13642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mgp 13477  df-srg 13520  df-dvdsr 13645

This theorem is referenced by:  dvdsr2d  13651  dvdsrmuld  13652  dvdsrcld  13653  dvdsrcl2  13655  dvdsrtr  13657  dvdsrmul1  13658  opprunitd  13666  crngunit  13667  rhmdvdsr  13731  subrgdvds  13791  cnfldui  14145