Theorem clim 11222

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence F is A, or F converges to A. This means that for any real x, no matter how small, there always exists an integer j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim.1	|- ( ph -> F e. V )
clim.3	|- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )

Assertion

Ref	Expression
clim	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem clim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 11221	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex2i 4648	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> A -> A e. _V ) )
4		elex 2737	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. _V )
5	4	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V ) )
7		clim.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
8		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> y = A )
9	8	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( y e. CC <-> A e. CC ) )
10		fveq1 5485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
12	11	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) e. CC <-> ( F ` k ) e. CC ) )
13		oveq12 5851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) = ( F ` k ) /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
14	10, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
15	14	fveq2d 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
16	15	breq1d 3992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
17	12, 16	anbi12d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
18	17	ralbidv 2466	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
19	18	rexbidv 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
20	19	ralbidv 2466	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
21	9, 20	anbi12d 465	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
22		df-clim 11220	. . . . . 6 |- ~~> = { <. f , y >. | ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) }
23	21, 22	brabga 4242	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. _V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
24	23	ex 114	. . . 4 |- ( F e. V -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
25	7, 24	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
26	3, 6, 25	pm5.21ndd 695	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
27		eluzelz 9475	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
28		clim.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )
29	28	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> B e. CC ) )
30	28	oveq1d 5857	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) - A ) = ( B - A ) )
31	30	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
32	31	breq1d 3992	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
33	29, 32	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
34	27, 33	sylan2 284	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
35	34	ralbidva 2462	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
36	35	rexbidv 2467	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
37	36	ralbidv 2466	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
38	37	anbi2d 460	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )
39	26, 38	bitrd 187	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   _Vcvv 2726   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   < clt 7933   - cmin 8069   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   RR+crp 9589   abscabs 10939   ~~> cli 11219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-neg 8072  df-z 9192  df-uz 9467  df-clim 11220

This theorem is referenced by:  climcl  11223  clim2  11224  climshftlemg  11243