Theorem clim 12025

Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence F is A, or F converges to A. This means that for any real x, no matter how small, there always exists an integer j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim.1	|- ( ph -> F e. V )
clim.3	|- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )

Assertion

Ref	Expression
clim	|- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hints:   B( x, j, k)   V( x, j, k)

Proof of Theorem clim

Dummy variables f y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrel 12024	. . . . 5 |- Rel ~~>
2	1	brrelex2i 4814	. . . 4 |- ( F ~~> A -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( F ~~> A -> A e. _V ) )
4		elex 2833	. . . . 5 |- ( A e. CC -> A e. _V )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V )
6	5	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) -> A e. _V ) )
7		clim.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. V )
8		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> y = A )
9	8	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( y e. CC <-> A e. CC ) )
10		fveq1 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = F -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( f ` k ) = ( F ` k ) )
12	11	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) e. CC <-> ( F ` k ) e. CC ) )
13		oveq12 6084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f ` k ) = ( F ` k ) /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
14	10, 13	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( f ` k ) - y ) = ( ( F ` k ) - A ) )
15	14	fveq2d 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) = ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) )
16	15	breq1d 4135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x <-> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) )
17	12, 16	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
18	17	ralbidv 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
19	18	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
20	19	ralbidv 2550	. . . . . . 7 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) )
21	9, 20	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( ( f = F /\ y = A ) -> ( ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
22		df-clim 12023	. . . . . 6 |- ~~> = { <. f , y >. | ( y e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( f ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( f ` k ) - y ) ) < x ) ) }
23	21, 22	brabga 4401	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ A e. _V ) -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
24	23	ex 115	. . . 4 |- ( F e. V -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
25	7, 24	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( A e. _V -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) ) )
26	3, 6, 25	pm5.21ndd 717	. 2 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) ) )
27		eluzelz 9910	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` j ) -> k e. ZZ )
28		clim.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( F ` k ) = B )
29	28	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) e. CC <-> B e. CC ) )
30	28	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( F ` k ) - A ) = ( B - A ) )
31	30	fveq2d 5694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) = ( abs ` ( B - A ) ) )
32	31	breq1d 4135	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x <-> ( abs ` ( B - A ) ) < x ) )
33	29, 32	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
34	27, 33	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
35	34	ralbidva 2546	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
36	35	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( ph -> ( E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
37	36	ralbidv 2550	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) <-> A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) )
38	37	anbi2d 468	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( F ` k ) - A ) ) < x ) ) <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )
39	26, 38	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( F ~~> A <-> ( A e. CC /\ A. x e. RR+ E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( B e. CC /\ ( abs ` ( B - A ) ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   < clt 8350   - cmin 8487   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   RR+crp 10033   abscabs 11741   ~~> cli 12022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-neg 8490  df-z 9624  df-uz 9901  df-clim 12023

This theorem is referenced by:  climcl  12026  clim2  12027  climshftlemg  12046