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Theorem clim 11018
Description: Express the predicate: The limit of complex number sequence  F is  A, or  F converges to  A. This means that for any real  x, no matter how small, there always exists an integer 
j such that the absolute difference of any later complex number in the sequence and the limit is less than  x. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
clim.1  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
clim.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
Assertion
Ref Expression
clim  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, A    j, F, k, x    ph, j, k, x
Allowed substitution hints:    B( x, j, k)    V( x, j, k)

Proof of Theorem clim
Dummy variables  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 climrel 11017 . . . . 5  |-  Rel  ~~>
21brrelex2i 4553 . . . 4  |-  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  ->  A  e.  _V )
)
4 elex 2671 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  e.  _V )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V )
65a1i 9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  ->  A  e.  _V ) )
7 clim.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
8 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
98eleq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( y  e.  CC  <->  A  e.  CC ) )
10 fveq1 5388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  k )  =  ( F `  k ) )
1110adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( f `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1211eleq1d 2186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  e.  CC  <->  ( F `  k )  e.  CC ) )
13 oveq12 5751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f `  k
)  =  ( F `
 k )  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1410, 13sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( f `  k )  -  y
)  =  ( ( F `  k )  -  A ) )
1514fveq2d 5393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  =  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) ) )
1615breq1d 3909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x  <->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) )
1712, 16anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( ( f `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `  k )  -  y
) )  <  x
)  <->  ( ( F `
 k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  <  x
) ) )
1817ralbidv 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x ) ) )
1918rexbidv 2415 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x ) ) )
2019ralbidv 2414 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( f `
 k )  -  y ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) )
219, 20anbi12d 464 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  F  /\  y  =  A )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
22 df-clim 11016 . . . . . 6  |-  ~~>  =  { <. f ,  y >.  |  ( y  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( f `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( f `  k
)  -  y ) )  <  x ) ) }
2321, 22brabga 4156 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  A  e.  _V )  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
2423ex 114 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
257, 24syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  _V  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) ) )
263, 6, 25pm5.21ndd 679 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) ) ) )
27 eluzelz 9303 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  k  e.  ZZ )
28 clim.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( F `
 k )  =  B )
2928eleq1d 2186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3028oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( F `  k )  -  A )  =  ( B  -  A
) )
3130fveq2d 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A
) )  =  ( abs `  ( B  -  A ) ) )
3231breq1d 3909 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x  <->  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) )
3329, 32anbi12d 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3427, 33sylan2 284 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( F `  k
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `  k )  -  A ) )  <  x )  <->  ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A
) )  <  x
) ) )
3534ralbidva 2410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  <  x ) ) )
3635rexbidv 2415 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x )  <->  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A ) )  < 
x ) ) )
3736ralbidv 2414 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( F `
 k )  -  A ) )  < 
x )  <->  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) )
3837anbi2d 459 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( ( F `  k )  e.  CC  /\  ( abs `  (
( F `  k
)  -  A ) )  <  x ) )  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
3926, 38bitrd 187 1  |-  ( ph  ->  ( F  ~~>  A  <->  ( A  e.  CC  /\  A. x  e.  RR+  E. j  e.  ZZ  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( B  e.  CC  /\  ( abs `  ( B  -  A )
)  <  x )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316    e. wcel 1465   A.wral 2393   E.wrex 2394   _Vcvv 2660   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586    < clt 7768    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   RR+crp 9409   abscabs 10737    ~~> cli 11015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-ov 5745  df-neg 7904  df-z 9023  df-uz 9295  df-clim 11016
This theorem is referenced by:  climcl  11019  clim2  11020  climshftlemg  11039
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