ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  clstop Unicode version

Theorem clstop 13712
Description: The closure of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 5-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clstop  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )

Proof of Theorem clstop
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21topcld 13694 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
3 cldcls 13699 . 2  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  X )
42, 3syl 14 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   U.cuni 3811   ` cfv 5218   Topctop 13582   Clsdccld 13677   clsccl 13679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-top 13583  df-cld 13680  df-cls 13682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator