Theorem clstop 12133

Description: The closure of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 5-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clstop	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem clstop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topcld 12115	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))
3		cldcls 12120	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
4	2, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  ∪ cuni 3700  ‘cfv 5079  Topctop 12001  Clsdccld 12098  clsccl 12100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-top 12002  df-cld 12101  df-cls 12103

This theorem is referenced by: (None)