Theorem cldcls 12754

Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cldcls	|- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )

Proof of Theorem cldcls

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 12742	. . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2		eqid 2165	. . . 4 |- U. J = U. J
3	2	cldss 12745	. . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
4	2	clsval 12751	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
6		intmin 3844	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } = S )
7	5, 6	eqtrd 2198	1 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   C_ wss 3116   U.cuni 3789   |^|cint 3824   ` cfv 5188   Topctop 12635   Clsdccld 12732   clsccl 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-top 12636  df-cld 12735  df-cls 12737

This theorem is referenced by:  clstop  12767  clsss2  12769  cls0  12773