Theorem cldcls 15340

Description: A closed subset equals its own closure. (Contributed by NM, 15-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cldcls	|- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )

Proof of Theorem cldcls

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 15328	. . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )
2		eqid 2238	. . . 4 |- U. J = U. J
3	2	cldss 15331	. . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
4	2	clsval 15337	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
5	1, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
6		intmin 3990	. 2 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } = S )
7	5, 6	eqtrd 2271	1 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   C_ wss 3220   U.cuni 3935   |^|cint 3970   ` cfv 5380   Topctop 15223   Clsdccld 15318   clsccl 15320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-top 15224  df-cld 15321  df-cls 15323

This theorem is used by:  clstop  15353  clsss2  15355  cls0  15359