Theorem ntrtop 12669

Description: The interior of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrtop	|- ( J e. Top -> ( ( int ` J ) ` X ) = X )

Proof of Theorem ntrtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	topopn 12547	. 2 |- ( J e. Top -> X e. J )
3		ssid 3157	. . 3 |- X C_ X
4	1	isopn3 12666	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ X C_ X ) -> ( X e. J <-> ( ( int ` J ) ` X ) = X ) )
5	3, 4	mpan2 422	. 2 |- ( J e. Top -> ( X e. J <-> ( ( int ` J ) ` X ) = X ) )
6	2, 5	mpbid 146	1 |- ( J e. Top -> ( ( int ` J ) ` X ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1342   e. wcel 2135   C_ wss 3111   U.cuni 3783   ` cfv 5182   Topctop 12536   intcnt 12634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-top 12537  df-ntr 12637

This theorem is referenced by:  dvidlemap  13201  dveflem  13228