Theorem cmnmnd 12900

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2175	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2175	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	iscmn 12892	. 2 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
4	3	simplbi 274	1 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2146   A.wral 2453   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   Mndcmnd 12682  CMndccmn 12884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-un 3131  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-iota 5170  df-fv 5216  df-ov 5868  df-cmn 12886

This theorem is referenced by:  cmn32  12903  cmn4  12904  cmn12  12905  cmnmndd  12907  rinvmod  12908  srgmnd  12943