Theorem cmnmnd 13670

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	iscmn 13662	. 2 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
4	3	simplbi 274	1 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   Mndcmnd 13281  CMndccmn 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-iota 5233  df-fv 5280  df-ov 5949  df-cmn 13655

This theorem is referenced by:  cmn32  13673  cmn4  13674  cmn12  13675  cmnmndd  13677  rinvmod  13678  ghmcmn  13696  srgmnd  13762