Theorem cmnmnd 13371

Description: A commutative monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cmnmnd	|- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Proof of Theorem cmnmnd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2193	. . 3 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3	1, 2	iscmn 13363	. 2 |- ( G e. CMnd <-> ( G e. Mnd /\ A. x e. ( Base ` G ) A. y e. ( Base ` G ) ( x ( +g ` G ) y ) = ( y ( +g ` G ) x ) ) )
4	3	simplbi 274	1 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   Mndcmnd 12997  CMndccmn 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-cmn 13356

This theorem is referenced by:  cmn32  13374  cmn4  13375  cmn12  13376  cmnmndd  13378  rinvmod  13379  ghmcmn  13397  srgmnd  13463