Theorem cmn4 13375

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
cmn4	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof of Theorem cmn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		simp1 999	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
4		cmnmnd 13371	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Mnd )
6		simp2l 1025	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
7		simp2r 1026	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
8		simp3l 1027	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
9		simp3r 1028	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
10	1, 2	cmncom 13372	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
11	3, 7, 8, 10	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
12	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 11	mnd4g 13010	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   Mndcmnd 12997  CMndccmn 13354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-cmn 13356

This theorem is referenced by:  ablsub4  13383  lmod4  13833