Theorem cmn4 12904

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
cmn4	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof of Theorem cmn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		simp1 997	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
4		cmnmnd 12900	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Mnd )
6		simp2l 1023	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
7		simp2r 1024	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
8		simp3l 1025	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
9		simp3r 1026	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
10	1, 2	cmncom 12901	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
11	3, 7, 8, 10	syl3anc 1238	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
12	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 11	mnd4g 12695	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Basecbs 12428   +g cplusg 12492   Mndcmnd 12682  CMndccmn 12884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-mgm 12640  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-cmn 12886

This theorem is referenced by:  ablsub4  12912