Theorem cmn4 13142

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
cmn4	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof of Theorem cmn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		simp1 998	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
4		cmnmnd 13138	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Mnd )
6		simp2l 1024	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
7		simp2r 1025	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
8		simp3l 1026	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
9		simp3r 1027	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
10	1, 2	cmncom 13139	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
11	3, 7, 8, 10	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
12	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 11	mnd4g 12852	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   +g cplusg 12551   Mndcmnd 12839  CMndccmn 13121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-2 8992  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-plusg 12564  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-cmn 13123

This theorem is referenced by:  ablsub4  13150  lmod4  13526