Theorem cmn4 14058

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
cmn4	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Proof of Theorem cmn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		simp1 1024	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. CMnd )
4		cmnmnd 14054	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
5	3, 4	syl 14	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> G e. Mnd )
6		simp2l 1050	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> X e. B )
7		simp2r 1051	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Y e. B )
8		simp3l 1052	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> Z e. B )
9		simp3r 1053	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> W e. B )
10	1, 2	cmncom 14055	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
11	3, 7, 8, 10	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( Y .+ Z ) = ( Z .+ Y ) )
12	1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 11	mnd4g 13690	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ ( Z .+ W ) ) = ( ( X .+ Z ) .+ ( Y .+ W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   Mndcmnd 13677  CMndccmn 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-cmn 14039

This theorem is referenced by:  ablsub4  14066  lmod4  14611