Theorem cmn12 14023

Description: Commutative/associative law for commutative monoids. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
cmn12	|- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )

Proof of Theorem cmn12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcom.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		ablcom.p	. 2 |- .+ = ( +g ` G )
3		cmnmnd 14018	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> G e. Mnd )
5		simpr1 1030	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
6		simpr2 1031	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
7		simpr3 1032	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
8	1, 2	cmncom 14019	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
9	8	3adant3r3 1241	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )
10	1, 2, 4, 5, 6, 7, 9	mnd12g 13641	1 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .+ ( Y .+ Z ) ) = ( Y .+ ( X .+ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   Mndcmnd 13629  CMndccmn 14001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-cmn 14003

This theorem is referenced by: (None)