Theorem cnegex2 7934

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 7933	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
2		addcom 7892	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A + x ) = ( x + A ) )
3	2	eqeq1d 2146	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( x + A ) = 0 ) )
4	3	rexbidva 2432	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( x + A ) = 0 ) )
5	1, 4	mpbid 146	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2415  (class class class)co 5767   CCcc 7611   0cc0 7613   + caddc 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770

This theorem is referenced by:  addcan  7935