Theorem cnegex2 8136

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 8135	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
2		addcom 8094	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A + x ) = ( x + A ) )
3	2	eqeq1d 2186	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( x + A ) = 0 ) )
4	3	rexbidva 2474	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( x + A ) = 0 ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   + caddc 7814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878

This theorem is referenced by:  addcan  8137