Theorem cnegex2 8149

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 8148	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
2		addcom 8107	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A + x ) = ( x + A ) )
3	2	eqeq1d 2196	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( x + A ) = 0 ) )
4	3	rexbidva 2484	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( x + A ) = 0 ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   E.wrex 2466  (class class class)co 5888   CCcc 7822   0cc0 7824   + caddc 7827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891

This theorem is referenced by:  addcan  8150