Theorem cnegex2 7965

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 7964	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
2		addcom 7923	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A + x ) = ( x + A ) )
3	2	eqeq1d 2149	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( x + A ) = 0 ) )
4	3	rexbidva 2435	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( x + A ) = 0 ) )
5	1, 4	mpbid 146	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785

This theorem is referenced by:  addcan  7966