Theorem cnegex2 8495

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 8494	. 2 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
2		addcom 8453	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A + x ) = ( x + A ) )
3	2	eqeq1d 2247	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( x + A ) = 0 ) )
4	3	rexbidva 2547	. 2 |- ( A e. CC -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( x + A ) = 0 ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( x + A ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078

This theorem is referenced by:  addcan  8496