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Theorem cnegex 7947
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegex  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables  a  b  c  d  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7769 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )
2 cnegexlem2 7945 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR  ( _i  x.  y )  e.  RR
3 cnegexlem3 7946 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  ( b  +  c )  =  y )
43ad2ant2lr 501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. c  e.  RR  ( b  +  c )  =  y )
5 ax-icn 7722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _i  e.  CC
6 recn 7760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  RR  ->  c  e.  CC )
7 mulcl 7754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  c
)  e.  CC )
85, 6, 7sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  RR  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
9 recn 7760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  RR  ->  d  e.  CC )
10 addcl 7752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  c
)  e.  CC  /\  d  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
118, 9, 10syl2an 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1211adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1312adantll 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1413adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  ( (
_i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
15 recn 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
16 recn 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  CC )
1715, 16anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC ) )
1817, 6anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC ) )
19 mulcl 7754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b
)  e.  CC )
205, 19mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  CC  ->  (
_i  x.  b )  e.  CC )
21 addcl 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2220, 21sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
2322ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
245, 7mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  CC  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
2524ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
26 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  d  e.  CC )
2723, 25, 26addassd 7795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( _i  x.  c ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
28 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  a  e.  CC )
2920ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b )  e.  CC )
3024adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  c )  e.  CC )
3128, 29, 30addassd 7795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c
) )  =  ( a  +  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) ) )
32 adddi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c
) ) )
335, 32mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) )
3433adantll 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b
)  +  ( _i  x.  c ) ) )
3534oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  (
b  +  c ) ) )  =  ( a  +  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) ) )
3631, 35eqtr4d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c
) )  =  ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) ) )
3736adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c ) )  =  ( a  +  ( _i  x.  (
b  +  c ) ) ) )
3837oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( _i  x.  c ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
3927, 38eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
4018, 9, 39syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
4140adantlrr 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
42 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
_i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( _i  x.  y ) )
4342oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  =  ( a  +  ( _i  x.  y
) ) )
4443oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4645ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4741, 46eqtr2d 2173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
4847adantllr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
4948eqeq1d 2148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0  <->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 ) )
5049biimpa 294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  ( (
a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 )
51 oveq2 5782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( _i  x.  c )  +  d )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
5251eqeq1d 2148 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( _i  x.  c )  +  d )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 ) )
5352rspcev 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( ( _i  x.  c
)  +  d ) )  =  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
5414, 50, 53syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 )
55 readdcl 7753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR )  ->  ( a  +  ( _i  x.  y
) )  e.  RR )
56 ax-rnegex 7736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  e.  RR  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
5857ad2ant2rl 502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
5958adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
6054, 59r19.29a 2575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
614, 60rexlimddv 2554 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
6261rexlimdvaa 2550 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  ( _i  x.  y )  e.  RR  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 ) )
632, 62mpi 15 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
64 oveq1 5781 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x ) )
6564eqeq1d 2148 . . . . 5  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( A  +  x
)  =  0  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 ) )
6665rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  +  x
)  =  0  <->  E. x  e.  CC  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 ) )
6763, 66syl5ibrcom 156 . . 3  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x
)  =  0 ) )
6867rexlimivv 2555 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
691, 68syl 14 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417  (class class class)co 5774   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   _ici 7629    + caddc 7630    x. cmul 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777
This theorem is referenced by:  cnegex2  7948  addcan2  7950  0cnALT  7959  negeu  7960
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