Theorem cnegex 8125

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	|- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables a b c d y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 7944	. 2 |- ( A e. CC -> E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) )
2		cnegexlem2 8123	. . . . 5 |- E. y e. RR ( _i x. y ) e. RR
3		cnegexlem3 8124	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. RR /\ y e. RR ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
4	3	ad2ant2lr 510	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) -> E. c e. RR ( b + c ) = y )
5		ax-icn 7897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- _i e. CC
6		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c e. RR -> c e. CC )
7		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ c e. CC ) -> ( _i x. c ) e. CC )
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. RR -> ( _i x. c ) e. CC )
9		recn 7935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( d e. RR -> d e. CC )
10		addcl 7927	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( _i x. c ) e. CC /\ d e. CC ) -> ( ( _i x. c ) + d ) e. CC )
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. RR /\ d e. RR ) -> ( ( _i x. c ) + d ) e. CC )
12	11	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) /\ d e. RR ) -> ( ( _i x. c ) + d ) e. CC )
13	12	adantll 476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( _i x. c ) + d ) e. CC )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) /\ ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 ) -> ( ( _i x. c ) + d ) e. CC )
15		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. RR -> a e. CC )
16		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. RR -> b e. CC )
17	15, 16	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( a e. CC /\ b e. CC ) )
18	17, 6	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) -> ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) )
19		mulcl 7929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _i e. CC /\ b e. CC ) -> ( _i x. b ) e. CC )
20	5, 19	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b e. CC -> ( _i x. b ) e. CC )
21		addcl 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( a e. CC /\ ( _i x. b ) e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
22	20, 21	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( a + ( _i x. b ) ) e. CC )
24	5, 7	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c e. CC -> ( _i x. c ) e. CC )
25	24	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( _i x. c ) e. CC )
26		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> d e. CC )
27	23, 25, 26	addassd 7970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( _i x. c ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) )
28		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> a e. CC )
29	20	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( _i x. b ) e. CC )
30	24	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( _i x. c ) e. CC )
31	28, 29, 30	addassd 7970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( _i x. c ) ) = ( a + ( ( _i x. b ) + ( _i x. c ) ) ) )
32		adddi 7934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _i e. CC /\ b e. CC /\ c e. CC ) -> ( _i x. ( b + c ) ) = ( ( _i x. b ) + ( _i x. c ) ) )
33	5, 32	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( b e. CC /\ c e. CC ) -> ( _i x. ( b + c ) ) = ( ( _i x. b ) + ( _i x. c ) ) )
34	33	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( _i x. ( b + c ) ) = ( ( _i x. b ) + ( _i x. c ) ) )
35	34	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) = ( a + ( ( _i x. b ) + ( _i x. c ) ) ) )
36	31, 35	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( _i x. c ) ) = ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( _i x. c ) ) = ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) )
38	37	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( _i x. c ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) )
39	27, 38	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( a e. CC /\ b e. CC ) /\ c e. CC ) /\ d e. CC ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) )
40	18, 9, 39	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ c e. RR ) /\ d e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) )
41	40	adantlrr 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) )
42		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b + c ) = y -> ( _i x. ( b + c ) ) = ( _i x. y ) )
43	42	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b + c ) = y -> ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) = ( a + ( _i x. y ) ) )
44	43	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b + c ) = y -> ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) -> ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) )
46	45	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. ( b + c ) ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) )
47	41, 46	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) )
48	47	adantllr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) )
49	48	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) -> ( ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = 0 ) )
50	49	biimpa 296	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) /\ ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = 0 )
51		oveq2 5877	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( _i x. c ) + d ) -> ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) )
52	51	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( ( _i x. c ) + d ) -> ( ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = 0 ) )
53	52	rspcev 2841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( _i x. c ) + d ) e. CC /\ ( ( a + ( _i x. b ) ) + ( ( _i x. c ) + d ) ) = 0 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 )
54	14, 50, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) /\ d e. RR ) /\ ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 )
55		readdcl 7928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) -> ( a + ( _i x. y ) ) e. RR )
56		ax-rnegex 7911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a + ( _i x. y ) ) e. RR -> E. d e. RR ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) -> E. d e. RR ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 )
58	57	ad2ant2rl 511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) -> E. d e. RR ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 )
59	58	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) -> E. d e. RR ( ( a + ( _i x. y ) ) + d ) = 0 )
60	54, 59	r19.29a 2620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) /\ ( c e. RR /\ ( b + c ) = y ) ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 )
61	4, 60	rexlimddv 2599	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. RR /\ b e. RR ) /\ ( y e. RR /\ ( _i x. y ) e. RR ) ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 )
62	61	rexlimdvaa 2595	. . . . 5 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( E. y e. RR ( _i x. y ) e. RR -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 ) )
63	2, 62	mpi 15	. . . 4 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 )
64		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( A + x ) = ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) )
65	64	eqeq1d 2186	. . . . 5 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( ( A + x ) = 0 <-> ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 ) )
66	65	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> ( E. x e. CC ( A + x ) = 0 <-> E. x e. CC ( ( a + ( _i x. b ) ) + x ) = 0 ) )
67	63, 66	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( a e. RR /\ b e. RR ) -> ( A = ( a + ( _i x. b ) ) -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 ) )
68	67	rexlimivv 2600	. 2 |- ( E. a e. RR E. b e. RR A = ( a + ( _i x. b ) ) -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )
69	1, 68	syl 14	1 |- ( A e. CC -> E. x e. CC ( A + x ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   _ici 7804   + caddc 7805   x. cmul 7807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872

This theorem is referenced by:  cnegex2  8126  addcan2  8128  0cnALT  8137  negeu  8138