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Theorem cnegex 7597
Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegex  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnegex
Dummy variables  a  b  c  d  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnre 7421 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) ) )
2 cnegexlem2 7595 . . . . 5  |-  E. y  e.  RR  ( _i  x.  y )  e.  RR
3 cnegexlem3 7596 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  E. c  e.  RR  ( b  +  c )  =  y )
43ad2ant2lr 494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. c  e.  RR  ( b  +  c )  =  y )
5 ax-icn 7377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  _i  e.  CC
6 recn 7412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  RR  ->  c  e.  CC )
7 mulcl 7406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  c
)  e.  CC )
85, 6, 7sylancr 405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  RR  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
9 recn 7412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  RR  ->  d  e.  CC )
10 addcl 7404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _i  x.  c
)  e.  CC  /\  d  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
118, 9, 10syl2an 283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  RR  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1211adantlr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1312adantll 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
1413adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  ( (
_i  x.  c )  +  d )  e.  CC )
15 recn 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  RR  ->  a  e.  CC )
16 recn 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  RR  ->  b  e.  CC )
1715, 16anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC ) )
1817, 6anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  ->  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC ) )
19 mulcl 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b
)  e.  CC )
205, 19mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( b  e.  CC  ->  (
_i  x.  b )  e.  CC )
21 addcl 7404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  CC  /\  ( _i  x.  b
)  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  e.  CC )
2220, 21sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
2322ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
a  +  ( _i  x.  b ) )  e.  CC )
245, 7mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( c  e.  CC  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
2524ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
_i  x.  c )  e.  CC )
26 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  d  e.  CC )
2723, 25, 26addassd 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( _i  x.  c ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
28 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  a  e.  CC )
2920ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  b )  e.  CC )
3024adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  c )  e.  CC )
3128, 29, 30addassd 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c
) )  =  ( a  +  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) ) )
32 adddi 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c
) ) )
335, 32mp3an1 1258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) )
3433adantll 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( ( _i  x.  b
)  +  ( _i  x.  c ) ) )
3534oveq2d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( a  +  ( _i  x.  (
b  +  c ) ) )  =  ( a  +  ( ( _i  x.  b )  +  ( _i  x.  c ) ) ) )
3631, 35eqtr4d 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c
) )  =  ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) ) )
3736adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( _i  x.  c ) )  =  ( a  +  ( _i  x.  (
b  +  c ) ) ) )
3837oveq1d 5622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( _i  x.  c ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
3927, 38eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  /\  c  e.  CC )  /\  d  e.  CC )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
4018, 9, 39syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  c  e.  RR )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
4140adantlrr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d ) )
42 oveq2 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
_i  x.  ( b  +  c ) )  =  ( _i  x.  y ) )
4342oveq2d 5623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  =  ( a  +  ( _i  x.  y
) ) )
4443oveq1d 5622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  +  c )  =  y  ->  (
( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4544adantl 271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4645ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  ( b  +  c ) ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d ) )
4741, 46eqtr2d 2118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
4847adantllr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
4948eqeq1d 2093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  ->  ( ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0  <->  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 ) )
5049biimpa 290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  ( (
a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 )
51 oveq2 5615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( _i  x.  c )  +  d )  ->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) ) )
5251eqeq1d 2093 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( _i  x.  c )  +  d )  ->  (
( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  ( ( _i  x.  c )  +  d ) )  =  0 ) )
5352rspcev 2715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( _i  x.  c )  +  d )  e.  CC  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  ( ( _i  x.  c
)  +  d ) )  =  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
5414, 50, 53syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  /\  d  e.  RR )  /\  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 )
55 readdcl 7405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR )  ->  ( a  +  ( _i  x.  y
) )  e.  RR )
56 ax-rnegex 7391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  e.  RR  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y ) )  +  d )  =  0 )
5755, 56syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
5857ad2ant2rl 495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
5958adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  ->  E. d  e.  RR  ( ( a  +  ( _i  x.  y
) )  +  d )  =  0 )
6054, 59r19.29a 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  (
y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y
)  e.  RR ) )  /\  ( c  e.  RR  /\  (
b  +  c )  =  y ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
614, 60rexlimddv 2489 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  ( _i  x.  y )  e.  RR ) )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
6261rexlimdvaa 2486 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  ( _i  x.  y )  e.  RR  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 ) )
632, 62mpi 15 . . . 4  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  E. x  e.  CC  ( ( a  +  ( _i  x.  b
) )  +  x
)  =  0 )
64 oveq1 5614 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( A  +  x )  =  ( ( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x ) )
6564eqeq1d 2093 . . . . 5  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  (
( A  +  x
)  =  0  <->  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 ) )
6665rexbidv 2377 . . . 4  |-  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  ( E. x  e.  CC  ( A  +  x
)  =  0  <->  E. x  e.  CC  (
( a  +  ( _i  x.  b ) )  +  x )  =  0 ) )
6763, 66syl5ibrcom 155 . . 3  |-  ( ( a  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( A  =  ( a  +  ( _i  x.  b ) )  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x
)  =  0 ) )
6867rexlimivv 2490 . 2  |-  ( E. a  e.  RR  E. b  e.  RR  A  =  ( a  +  ( _i  x.  b
) )  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
691, 68syl 14 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  CC  ( A  +  x )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   E.wrex 2356  (class class class)co 5607   CCcc 7285   RRcr 7286   0cc0 7287   _ici 7289    + caddc 7290    x. cmul 7292
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-addcom 7382  ax-addass 7384  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-cnre 7393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-iota 4943  df-fv 4986  df-ov 5610
This theorem is referenced by:  cnegex2  7598  addcan2  7600  0cnALT  7609  negeu  7610
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