Theorem cnegex2 8085

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 8084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		addcom 8043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑥) = (𝑥 + 𝐴))
3	2	eqeq1d 2179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐴) = 0))
4	3	rexbidva 2467	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0))
5	1, 4	mpbid 146	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449  (class class class)co 5850  ℂcc 7759  0cc0 7761   + caddc 7764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-iota 5158  df-fv 5204  df-ov 5853

This theorem is referenced by:  addcan  8086