Theorem cnegex2 8205

Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnegex 8204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2		addcom 8163	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑥) = (𝑥 + 𝐴))
3	2	eqeq1d 2205	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐴) = 0))
4	3	rexbidva 2494	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0))
5	1, 4	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  0cc0 7879   + caddc 7882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925

This theorem is referenced by:  addcan  8206