ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnegex2 GIF version

Theorem cnegex2 7640
Description: Existence of a left inverse for addition. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
cnegex2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem cnegex2
StepHypRef Expression
1 cnegex 7639 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0)
2 addcom 7598 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝑥) = (𝑥 + 𝐴))
32eqeq1d 2096 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐴) = 0))
43rexbidva 2377 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑥 ∈ ℂ (𝐴 + 𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0))
51, 4mpbid 145 1 (𝐴 ∈ ℂ → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 𝐴) = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wrex 2360  (class class class)co 5634  cc 7327  0cc0 7329   + caddc 7332
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-iota 4967  df-fv 5010  df-ov 5637
This theorem is referenced by:  addcan  7641
  Copyright terms: Public domain W3C validator