Theorem prfidisj 7024

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where A = B, see snfig 6906. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3741, prprc2 3742, or prprc 3743. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3640	. 2 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		snfig 6906	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3		snfig 6906	. . 3 |- ( B e. W -> { B } e. Fin )
4		disjsn2 3696	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5		unfidisj 7019	. . 3 |- ( ( { A } e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( { A } i^i { B } ) = (/) ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1292	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrid 2292	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633   {cpr 3634   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  prfidceq  7025  tpfidisj  7026  fiprsshashgt1  10962  sumpr  11724