ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prfidisj Unicode version

Theorem prfidisj 6617
Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where  A  =  B, see snfig 6511. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3545, prprc2 3546, or prprc 3547. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
prfidisj  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )

Proof of Theorem prfidisj
StepHypRef Expression
1 df-pr 3448 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfig 6511 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
3 snfig 6511 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { B }  e.  Fin )
4 disjsn2 3500 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
5 unfidisj 6612 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin  /\  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
62, 3, 4, 5syl3an 1216 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
71, 6syl5eqel 2174 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255    u. cun 2995    i^i cin 2996   (/)c0 3284   {csn 3441   {cpr 3442   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  tpfidisj  6618  fiprsshashgt1  10190  sumpr  10770
  Copyright terms: Public domain W3C validator