ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prfidisj Unicode version

Theorem prfidisj 6871
Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where  A  =  B, see snfig 6759. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3667, prprc2 3668, or prprc 3669. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
prfidisj  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )

Proof of Theorem prfidisj
StepHypRef Expression
1 df-pr 3567 . 2  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
2 snfig 6759 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { A }  e.  Fin )
3 snfig 6759 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  { B }  e.  Fin )
4 disjsn2 3622 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
5 unfidisj 6866 . . 3  |-  ( ( { A }  e.  Fin  /\  { B }  e.  Fin  /\  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )  ->  ( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
62, 3, 4, 5syl3an 1262 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  -> 
( { A }  u.  { B } )  e.  Fin )
71, 6eqeltrid 2244 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327    u. cun 3100    i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560   {cpr 3561   Fincfn 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688
This theorem is referenced by:  tpfidisj  6872  fiprsshashgt1  10691  sumpr  11310
  Copyright terms: Public domain W3C validator