Theorem prfidisj 6904

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where A = B, see snfig 6792. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3691, prprc2 3692, or prprc 3693. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3590	. 2 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		snfig 6792	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3		snfig 6792	. . 3 |- ( B e. W -> { B } e. Fin )
4		disjsn2 3646	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5		unfidisj 6899	. . 3 |- ( ( { A } e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( { A } i^i { B } ) = (/) ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1275	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrid 2257	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   u. cun 3119   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   {cpr 3584   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721

This theorem is referenced by:  tpfidisj  6905  fiprsshashgt1  10752  sumpr  11376