Theorem prfidisj 7162

Description: A pair is finite if it consists of two unequal sets. For the case where A = B, see snfig 7032. For the cases where one or both is a proper class, see prprc1 3784, prprc2 3785, or prprc 3786. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
prfidisj	|- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Proof of Theorem prfidisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3680	. 2 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
2		snfig 7032	. . 3 |- ( A e. V -> { A } e. Fin )
3		snfig 7032	. . 3 |- ( B e. W -> { B } e. Fin )
4		disjsn2 3736	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
5		unfidisj 7157	. . 3 |- ( ( { A } e. Fin /\ { B } e. Fin /\ ( { A } i^i { B } ) = (/) ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
6	2, 3, 4, 5	syl3an 1316	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> ( { A } u. { B } ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrid 2318	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W /\ A =/= B ) -> { A , B } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2403   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   {csn 3673   {cpr 3674   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  prfidceq  7163  tpfidisj  7164  fiprsshashgt1  11144  hashtpgim  11172  sumpr  12054