Theorem pr2nelem 7047

Description: Lemma for pr2ne 7048. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3586	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2		ensn1g 6691	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3		ensn1g 6691	. . . . 5 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
4		pm54.43 7046	. . . . . . 7 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o ) )
5		df-pr 3534	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	breq1i 3936	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ 2o <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o )
7	4, 6	syl6bbr 197	. . . . . 6 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A , B } ~~ 2o ) )
8	7	biimpd 143	. . . . 5 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
9	2, 3, 8	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
10	9	ex 114	. . 3 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
11	1, 10	syl7 69	. 2 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
12	11	3imp 1175	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   1oc1o 6306   2oc2o 6307   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635

This theorem is referenced by:  pr2ne  7048