ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pr2nelem Unicode version

Theorem pr2nelem 6740
Description: Lemma for pr2ne 6741. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 3482 . . 3  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
2 ensn1g 6447 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
3 ensn1g 6447 . . . . 5  |-  ( B  e.  D  ->  { B }  ~~  1o )
4 pm54.43 6739 . . . . . . 7  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o ) )
5 df-pr 3432 . . . . . . . 8  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
65breq1i 3821 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  ~~  2o  <->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  2o )
74, 6syl6bbr 196 . . . . . 6  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  <->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
87biimpd 142 . . . . 5  |-  ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  1o )  ->  (
( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
92, 3, 8syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( { A }  i^i  { B }
)  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) )
109ex 113 . . 3  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
111, 10syl7 68 . 2  |-  ( A  e.  C  ->  ( B  e.  D  ->  ( A  =/=  B  ->  { A ,  B }  ~~  2o ) ) )
12113imp 1135 1  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D  /\  A  =/=  B )  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251    u. cun 2984    i^i cin 2985   (/)c0 3272   {csn 3425   {cpr 3426   class class class wbr 3814   1oc1o 6109   2oc2o 6110    ~~ cen 6388
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1o 6116  df-2o 6117  df-er 6225  df-en 6391
This theorem is referenced by:  pr2ne  6741
  Copyright terms: Public domain W3C validator