Theorem pr2nelem 7253

Description: Lemma for pr2ne 7254. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3682	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2		ensn1g 6853	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3		ensn1g 6853	. . . . 5 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
4		pm54.43 7252	. . . . . . 7 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o ) )
5		df-pr 3626	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	breq1i 4037	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ 2o <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o )
7	4, 6	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A , B } ~~ 2o ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
9	2, 3, 8	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
10	9	ex 115	. . 3 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
11	1, 10	syl7 69	. 2 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
12	11	3imp 1195	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   u. cun 3152   i^i cin 3153   (/)c0 3447   {csn 3619   {cpr 3620   class class class wbr 4030   1oc1o 6464   2oc2o 6465   ~~ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-en 6797

This theorem is referenced by:  pr2ne  7254