Theorem pr2nelem 7127

Description: Lemma for pr2ne 7128. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3623	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2		ensn1g 6743	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3		ensn1g 6743	. . . . 5 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
4		pm54.43 7126	. . . . . . 7 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o ) )
5		df-pr 3567	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	breq1i 3973	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ 2o <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o )
7	4, 6	bitr4di 197	. . . . . 6 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A , B } ~~ 2o ) )
8	7	biimpd 143	. . . . 5 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
9	2, 3, 8	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
10	9	ex 114	. . 3 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
11	1, 10	syl7 69	. 2 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
12	11	3imp 1176	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   u. cun 3100   i^i cin 3101   (/)c0 3394   {csn 3560   {cpr 3561   class class class wbr 3966   1oc1o 6357   2oc2o 6358   ~~ cen 6684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-1o 6364  df-2o 6365  df-er 6481  df-en 6687

This theorem is referenced by:  pr2ne  7128