Theorem pr2nelem 7537

Description: Lemma for pr2ne 7538. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3772	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2		ensn1g 7084	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3		ensn1g 7084	. . . . 5 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
4		pm54.43 7536	. . . . . . 7 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o ) )
5		df-pr 3716	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	breq1i 4137	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ 2o <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o )
7	4, 6	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A , B } ~~ 2o ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
9	2, 3, 8	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
10	9	ex 115	. . 3 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
11	1, 10	syl7 69	. 2 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
12	11	3imp 1224	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4130   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023

This theorem is used by:  pr2ne  7538  upgr2wlkdc  16618