Theorem pr2nelem 7501

Description: Lemma for pr2ne 7502. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pr2nelem	|- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem pr2nelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjsn2 3757	. . 3 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
2		ensn1g 7050	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3		ensn1g 7050	. . . . 5 |- ( B e. D -> { B } ~~ 1o )
4		pm54.43 7500	. . . . . . 7 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o ) )
5		df-pr 3701	. . . . . . . 8 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
6	5	breq1i 4121	. . . . . . 7 |- ( { A , B } ~~ 2o <-> ( { A } u. { B } ) ~~ 2o )
7	4, 6	bitr4di 198	. . . . . 6 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) <-> { A , B } ~~ 2o ) )
8	7	biimpd 144	. . . . 5 |- ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ 1o ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
9	2, 3, 8	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) )
10	9	ex 115	. . 3 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( ( { A } i^i { B } ) = (/) -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
11	1, 10	syl7 69	. 2 |- ( A e. C -> ( B e. D -> ( A =/= B -> { A , B } ~~ 2o ) ) )
12	11	3imp 1220	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D /\ A =/= B ) -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   u. cun 3212   i^i cin 3213   (/)c0 3512   {csn 3694   {cpr 3695   class class class wbr 4114   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ~~ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989

This theorem is referenced by:  pr2ne  7502  upgr2wlkdc  16498