ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun0 Unicode version

Theorem setsfun0 11593
Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 11592 is useful for proofs based on isstruct2r 11568 which requires  Fun  ( F 
\  { (/) } ) for 
F to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun0  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  ( ( G sSet  <. I ,  E >. )  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem setsfun0
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 5070 . . . . 5  |-  ( Fun  ( G  \  { (/)
} )  ->  Fun  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) ) )
21ad2antlr 474 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) ) )
3 funsng 5075 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  ->  Fun  { <. I ,  E >. } )
43adantl 272 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  { <. I ,  E >. } )
5 dmres 4749 . . . . . . 7  |-  dom  (
( G  \  { (/)
} )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )
65ineq1i 3200 . . . . . 6  |-  ( dom  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  {
<. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )
7 in32 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )
8 incom 3195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )
9 disjdif 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( dom 
{ <. I ,  E >. }  i^i  ( _V 
\  dom  { <. I ,  E >. } ) )  =  (/)
108, 9eqtri 2109 . . . . . . . 8  |-  ( ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
1110ineq1i 3200 . . . . . . 7  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  ( (/)  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) )
12 0in 3324 . . . . . . 7  |-  ( (/)  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
137, 11, 123eqtri 2113 . . . . . 6  |-  ( ( ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/)
146, 13eqtri 2109 . . . . 5  |-  ( dom  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  {
<. I ,  E >. } )  =  (/)
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( dom  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  {
<. I ,  E >. } )  =  (/) )
16 funun 5073 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  /\  Fun  { <. I ,  E >. } )  /\  ( dom  (
( G  \  { (/)
} )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  i^i  dom  { <. I ,  E >. } )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( ( G 
\  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
172, 4, 15, 16syl21anc 1174 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  ( ( ( G 
\  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
18 difundir 3255 . . . . 5  |-  ( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) 
\  { (/) } )  =  ( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) ) 
\  { (/) } )  u.  ( { <. I ,  E >. }  \  { (/) } ) )
19 resdifcom 4746 . . . . . . 7  |-  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) ) 
\  { (/) } )  =  ( ( G 
\  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )
2019a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  \  { (/)
} )  =  ( ( G  \  { (/)
} )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) ) )
21 elex 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  U  ->  I  e.  _V )
22 elex 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( E  e.  W  ->  E  e.  _V )
23 opm 4072 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  <. I ,  E >.  <->  ( I  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
24 n0r 3302 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  <. I ,  E >.  ->  <. I ,  E >.  =/=  (/) )
2523, 24sylbir 134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  _V  /\  E  e.  _V )  -> 
<. I ,  E >.  =/=  (/) )
2621, 22, 25syl2an 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  -> 
<. I ,  E >.  =/=  (/) )
2726adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  <. I ,  E >.  =/=  (/) )
28 disjsn2 3511 . . . . . . 7  |-  ( <.
I ,  E >.  =/=  (/)  ->  ( { <. I ,  E >. }  i^i  {
(/) } )  =  (/) )
29 disjdif2 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( { <. I ,  E >. }  i^i  { (/) } )  =  (/)  ->  ( { <. I ,  E >. }  \  { (/) } )  =  { <. I ,  E >. } )
3027, 28, 293syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( { <. I ,  E >. }  \  { (/)
} )  =  { <. I ,  E >. } )
3120, 30uneq12d 3158 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  \  { (/)
} )  u.  ( { <. I ,  E >. }  \  { (/) } ) )  =  ( ( ( G  \  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
3218, 31syl5eq 2133 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } )  \  { (/) } )  =  ( ( ( G  \  { (/)
} )  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
3332funeqd 5052 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( Fun  ( (
( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) 
\  { (/) } )  <->  Fun  ( ( ( G 
\  { (/) } )  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) ) )
3417, 33mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  ( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } )  \  { (/) } ) )
35 simpll 497 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  G  e.  V )
36 opexg 4066 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  U  /\  E  e.  W )  -> 
<. I ,  E >.  e. 
_V )
3736adantl 272 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  <. I ,  E >.  e. 
_V )
38 setsvalg 11587 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  <.
I ,  E >.  e. 
_V )  ->  ( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
3935, 37, 38syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( G sSet  <. I ,  E >. )  =  ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } ) )
4039difeq1d 3120 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( ( G sSet  <. I ,  E >. )  \  { (/) } )  =  ( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  {
<. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } )  \  { (/) } ) )
4140funeqd 5052 . 2  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  -> 
( Fun  ( ( G sSet  <. I ,  E >. )  \  { (/) } )  <->  Fun  ( ( ( G  |`  ( _V  \  dom  { <. I ,  E >. } ) )  u.  { <. I ,  E >. } )  \  { (/) } ) ) )
4234, 41mpbird 166 1  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )  /\  ( I  e.  U  /\  E  e.  W ) )  ->  Fun  ( ( G sSet  <. I ,  E >. )  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439    =/= wne 2256   _Vcvv 2622    \ cdif 2999    u. cun 3000    i^i cin 3001   (/)c0 3289   {csn 3452   <.cop 3455   dom cdm 4454    |` cres 4456   Fun wfun 5024  (class class class)co 5668   sSet csts 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-res 4466  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-sets 11564
This theorem is referenced by:  setsn0fun  11594
  Copyright terms: Public domain W3C validator