Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsfun0 Unicode version

Theorem setsfun0 12173
 Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 12172 is useful for proofs based on isstruct2r 12148 which requires for to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun0 sSet

Proof of Theorem setsfun0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funres 5204 . . . . 5
21ad2antlr 481 . . . 4
3 funsng 5209 . . . . 5
43adantl 275 . . . 4
5 dmres 4880 . . . . . . 7
65ineq1i 3300 . . . . . 6
7 in32 3315 . . . . . . 7
8 incom 3295 . . . . . . . . 9
9 disjdif 3462 . . . . . . . . 9
108, 9eqtri 2175 . . . . . . . 8
1110ineq1i 3300 . . . . . . 7
12 0in 3425 . . . . . . 7
137, 11, 123eqtri 2179 . . . . . 6
146, 13eqtri 2175 . . . . 5
1514a1i 9 . . . 4
16 funun 5207 . . . 4
172, 4, 15, 16syl21anc 1216 . . 3
18 difundir 3356 . . . . 5
19 resdifcom 4877 . . . . . . 7
2019a1i 9 . . . . . 6
21 elex 2720 . . . . . . . . 9
22 elex 2720 . . . . . . . . 9
23 opm 4189 . . . . . . . . . 10
24 n0r 3403 . . . . . . . . . 10
2523, 24sylbir 134 . . . . . . . . 9
2621, 22, 25syl2an 287 . . . . . . . 8
2726adantl 275 . . . . . . 7
28 disjsn2 3618 . . . . . . 7
29 disjdif2 3468 . . . . . . 7
3027, 28, 293syl 17 . . . . . 6
3120, 30uneq12d 3258 . . . . 5
3218, 31syl5eq 2199 . . . 4
3332funeqd 5185 . . 3
3417, 33mpbird 166 . 2
35 simpll 519 . . . . 5
36 opexg 4183 . . . . . 6
3736adantl 275 . . . . 5
38 setsvalg 12167 . . . . 5 sSet
3935, 37, 38syl2anc 409 . . . 4 sSet
4039difeq1d 3220 . . 3 sSet
4140funeqd 5185 . 2 sSet
4234, 41mpbird 166 1 sSet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332  wex 1469   wcel 2125   wne 2324  cvv 2709   cdif 3095   cun 3096   cin 3097  c0 3390  csn 3556  cop 3559   cdm 4579   cres 4581   wfun 5157  (class class class)co 5814   sSet csts 12135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-res 4591  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-sets 12144 This theorem is referenced by:  setsn0fun  12174
 Copyright terms: Public domain W3C validator