Theorem setsfun0 12657

Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 12656 is useful for proofs based on isstruct2r 12632 which requires Fun ( F \ { (/) } ) for F to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun0	|- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )

Proof of Theorem setsfun0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5296	. . . . 5 |- ( Fun ( G \ { (/) } ) -> Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
2	1	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
3		funsng 5301	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> Fun { <. I , E >. } )
4	3	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun { <. I , E >. } )
5		dmres 4964	. . . . . . 7 |- dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
6	5	ineq1i 3357	. . . . . 6 |- ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } )
7		in32 3372	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
8		incom 3352	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
9		disjdif 3520	. . . . . . . . 9 |- ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = (/)
10	8, 9	eqtri 2214	. . . . . . . 8 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
11	10	ineq1i 3357	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = ( (/) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
12		0in 3483	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
13	7, 11, 12	3eqtri 2218	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
14	6, 13	eqtri 2214	. . . . 5 |- ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) )
16		funun 5299	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) /\ Fun { <. I , E >. } ) /\ ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) ) -> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
17	2, 4, 15, 16	syl21anc 1248	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
18		difundir 3413	. . . . 5 |- ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) = ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) u. ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) )
19		resdifcom 4961	. . . . . . 7 |- ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) = ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) = ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
21		elex 2771	. . . . . . . . 9 |- ( I e. U -> I e. _V )
22		elex 2771	. . . . . . . . 9 |- ( E e. W -> E e. _V )
23		opm 4264	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. <. I , E >. <-> ( I e. _V /\ E e. _V ) )
24		n0r 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. <. I , E >. -> <. I , E >. =/= (/) )
25	23, 24	sylbir 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. _V /\ E e. _V ) -> <. I , E >. =/= (/) )
26	21, 22, 25	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. =/= (/) )
27	26	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. =/= (/) )
28		disjsn2 3682	. . . . . . 7 |- ( <. I , E >. =/= (/) -> ( { <. I , E >. } i^i { (/) } ) = (/) )
29		disjdif2 3526	. . . . . . 7 |- ( ( { <. I , E >. } i^i { (/) } ) = (/) -> ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) = { <. I , E >. } )
30	27, 28, 29	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) = { <. I , E >. } )
31	20, 30	uneq12d 3315	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) u. ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) ) = ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
32	18, 31	eqtrid 2238	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) = ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
33	32	funeqd 5277	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) ) )
34	17, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) )
35		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> G e. V )
36		opexg 4258	. . . . . 6 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. e. _V )
37	36	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. e. _V )
38		setsvalg 12651	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ <. I , E >. e. _V ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
40	39	difeq1d 3277	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) = ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) )
41	40	funeqd 5277	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) ) )
42	34, 41	mpbird 167	1 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   =/= wne 2364   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   u. cun 3152   i^i cin 3153   (/)c0 3447   {csn 3619   <.cop 3622   dom cdm 4660   |` cres 4662   Fun wfun 5249  (class class class)co 5919   sSet csts 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sets 12628

This theorem is referenced by:  setsn0fun  12658