Theorem setsfun0 12430

Description: A structure with replacement without the empty set is a function if the original structure without the empty set is a function. This variant of setsfun 12429 is useful for proofs based on isstruct2r 12405 which requires Fun ( F \ { (/) } ) for F to be an extensible structure. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
setsfun0	|- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )

Proof of Theorem setsfun0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funres 5229	. . . . 5 |- ( Fun ( G \ { (/) } ) -> Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
2	1	ad2antlr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
3		funsng 5234	. . . . 5 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> Fun { <. I , E >. } )
4	3	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun { <. I , E >. } )
5		dmres 4905	. . . . . . 7 |- dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
6	5	ineq1i 3319	. . . . . 6 |- ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } )
7		in32 3334	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
8		incom 3314	. . . . . . . . 9 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
9		disjdif 3481	. . . . . . . . 9 |- ( dom { <. I , E >. } i^i ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) = (/)
10	8, 9	eqtri 2186	. . . . . . . 8 |- ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
11	10	ineq1i 3319	. . . . . . 7 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = ( (/) i^i dom ( G \ { (/) } ) )
12		0in 3444	. . . . . . 7 |- ( (/) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) = (/)
13	7, 11, 12	3eqtri 2190	. . . . . 6 |- ( ( ( _V \ dom { <. I , E >. } ) i^i dom ( G \ { (/) } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
14	6, 13	eqtri 2186	. . . . 5 |- ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/)
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) )
16		funun 5232	. . . 4 |- ( ( ( Fun ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) /\ Fun { <. I , E >. } ) /\ ( dom ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) i^i dom { <. I , E >. } ) = (/) ) -> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
17	2, 4, 15, 16	syl21anc 1227	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
18		difundir 3375	. . . . 5 |- ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) = ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) u. ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) )
19		resdifcom 4902	. . . . . . 7 |- ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) = ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) )
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) = ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) )
21		elex 2737	. . . . . . . . 9 |- ( I e. U -> I e. _V )
22		elex 2737	. . . . . . . . 9 |- ( E e. W -> E e. _V )
23		opm 4212	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. <. I , E >. <-> ( I e. _V /\ E e. _V ) )
24		n0r 3422	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x x e. <. I , E >. -> <. I , E >. =/= (/) )
25	23, 24	sylbir 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. _V /\ E e. _V ) -> <. I , E >. =/= (/) )
26	21, 22, 25	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. =/= (/) )
27	26	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. =/= (/) )
28		disjsn2 3639	. . . . . . 7 |- ( <. I , E >. =/= (/) -> ( { <. I , E >. } i^i { (/) } ) = (/) )
29		disjdif2 3487	. . . . . . 7 |- ( ( { <. I , E >. } i^i { (/) } ) = (/) -> ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) = { <. I , E >. } )
30	27, 28, 29	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) = { <. I , E >. } )
31	20, 30	uneq12d 3277	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) \ { (/) } ) u. ( { <. I , E >. } \ { (/) } ) ) = ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
32	18, 31	syl5eq 2211	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) = ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
33	32	funeqd 5210	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( ( G \ { (/) } ) |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) ) )
34	17, 33	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) )
35		simpll 519	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> G e. V )
36		opexg 4206	. . . . . 6 |- ( ( I e. U /\ E e. W ) -> <. I , E >. e. _V )
37	36	adantl 275	. . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> <. I , E >. e. _V )
38		setsvalg 12424	. . . . 5 |- ( ( G e. V /\ <. I , E >. e. _V ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
39	35, 37, 38	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( G sSet <. I , E >. ) = ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) )
40	39	difeq1d 3239	. . 3 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) = ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) )
41	40	funeqd 5210	. 2 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> ( Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) <-> Fun ( ( ( G |` ( _V \ dom { <. I , E >. } ) ) u. { <. I , E >. } ) \ { (/) } ) ) )
42	34, 41	mpbird 166	1 |- ( ( ( G e. V /\ Fun ( G \ { (/) } ) ) /\ ( I e. U /\ E e. W ) ) -> Fun ( ( G sSet <. I , E >. ) \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   =/= wne 2336   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   dom cdm 4604   |` cres 4606   Fun wfun 5182  (class class class)co 5842   sSet csts 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sets 12401

This theorem is referenced by:  setsn0fun  12431