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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > setsfun0 | Unicode version |
Description: A structure with
replacement without the empty set is a function if the
original structure without the empty set is a function. This variant of
setsfun 12033 is useful for proofs based on isstruct2r 12009 which requires
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Ref | Expression |
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setsfun0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | funres 5172 |
. . . . 5
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2 | 1 | ad2antlr 481 |
. . . 4
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3 | funsng 5177 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantl 275 |
. . . 4
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5 | dmres 4848 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | ineq1i 3278 |
. . . . . 6
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7 | in32 3293 |
. . . . . . 7
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8 | incom 3273 |
. . . . . . . . 9
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9 | disjdif 3440 |
. . . . . . . . 9
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10 | 8, 9 | eqtri 2161 |
. . . . . . . 8
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11 | 10 | ineq1i 3278 |
. . . . . . 7
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12 | 0in 3403 |
. . . . . . 7
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13 | 7, 11, 12 | 3eqtri 2165 |
. . . . . 6
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14 | 6, 13 | eqtri 2161 |
. . . . 5
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15 | 14 | a1i 9 |
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16 | funun 5175 |
. . . 4
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17 | 2, 4, 15, 16 | syl21anc 1216 |
. . 3
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18 | difundir 3334 |
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19 | resdifcom 4845 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | a1i 9 |
. . . . . 6
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21 | elex 2700 |
. . . . . . . . 9
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22 | elex 2700 |
. . . . . . . . 9
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23 | opm 4164 |
. . . . . . . . . 10
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24 | n0r 3381 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 23, 24 | sylbir 134 |
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26 | 21, 22, 25 | syl2an 287 |
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27 | 26 | adantl 275 |
. . . . . . 7
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28 | disjsn2 3594 |
. . . . . . 7
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29 | disjdif2 3446 |
. . . . . . 7
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30 | 27, 28, 29 | 3syl 17 |
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31 | 20, 30 | uneq12d 3236 |
. . . . 5
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32 | 18, 31 | syl5eq 2185 |
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33 | 32 | funeqd 5153 |
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34 | 17, 33 | mpbird 166 |
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35 | simpll 519 |
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36 | opexg 4158 |
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37 | 36 | adantl 275 |
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38 | setsvalg 12028 |
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39 | 35, 37, 38 | syl2anc 409 |
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40 | 39 | difeq1d 3198 |
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41 | 40 | funeqd 5153 |
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42 | 34, 41 | mpbird 166 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-res 4559 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-sets 12005 |
This theorem is referenced by: setsn0fun 12035 |
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