ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmoprabss Unicode version

Theorem dmoprabss 5970
Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmoprabss  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
Distinct variable groups:    x, y, z, A    x, B, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss
StepHypRef Expression
1 dmoprab 5969 . 2  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }
2 19.42v 1916 . . . 4  |-  ( E. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  E. z ph ) )
32opabbii 4082 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  E. z ph ) }
4 opabssxp 4712 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  E. z ph ) }  C_  ( A  X.  B )
53, 4eqsstri 3199 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
61, 5eqsstri 3199 1  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ph ) }  C_  ( A  X.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104   E.wex 1502    e. wcel 2158    C_ wss 3141   {copab 4075    X. cxp 4636   dom cdm 4638   {coprab 5889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-dm 4648  df-oprab 5892
This theorem is referenced by:  elmpocl  6082  oprabexd  6141  oprabex  6142  axaddf  7880  axmulf  7881
  Copyright terms: Public domain W3C validator