Theorem dmoprabss 6160

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 6159	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		19.42v 1962	. . . 4 |- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) )
3	2	opabbii 4193	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) }
4		opabssxp 4844	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) } C_ ( A X. B )
5	3, 4	eqsstri 3280	. 2 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
6	1, 5	eqsstri 3280	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1545   e. wcel 2209   C_ wss 3220   {copab 4186   X. cxp 4767   dom cdm 4769   {coprab 6076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-dm 4779  df-oprab 6079

This theorem is referenced by:  elmpocl  6274  oprabexd  6350  oprabex  6351  elmpom  6464  axaddf  8225  axmulf  8226