Theorem dmoprabss 5924

Description: The domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
dmoprabss	|- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem dmoprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 5923	. 2 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) }
2		19.42v 1894	. . . 4 |- ( E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) )
3	2	opabbii 4049	. . 3 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) }
4		opabssxp 4678	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ E. z ph ) } C_ ( A X. B )
5	3, 4	eqsstri 3174	. 2 |- { <. x , y >. | E. z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )
6	1, 5	eqsstri 3174	1 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) } C_ ( A X. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1480   e. wcel 2136   C_ wss 3116   {copab 4042   X. cxp 4602   dom cdm 4604   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-dm 4614  df-oprab 5846

This theorem is referenced by:  elmpocl  6036  oprabexd  6095  oprabex  6096  axaddf  7809  axmulf  7810